Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс S_t является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

где ${\displaystyle W_{t}}$ есть броуновское движение, а ${\displaystyle \mu }$ («параметр сноса») и ${\displaystyle \sigma }$ («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S₀ данное СДУ имеет решение

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),}$

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}}$ и дисперсией ${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(S_t/S₀) распределена нормально с матожиданием ${\displaystyle (\mu -\sigma ^{2}/2)t}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$, что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.