Геронов треугольник

Геронов треугольник — треугольник, стороны и площадь которого являются целыми числами^[1][2]. Героновы треугольники названы в честь греческого математика Герона. Термин иногда понимается несколько шире и распространяется на треугольники, имеющие рациональные стороны и площадь^[3].

Все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют пифагоровы тройки, являются героновыми, поскольку стороны их по определению целочисленны, а площадь тоже целочисленна, поскольку является половиной произведения катетов, один из которых обязательно имеет чётную длину.

В качестве примера геронова треугольника, не имеющего прямого угла, можно привести равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается путём объединения двух прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 вдоль стороны длиной 4. Этот подход работает и в общем случае, как показано на рисунке справа. Берётся пифагорова тройка (a, b, c), где c — наибольшая сторона, затем другая тройка (a, d, e), в которой наибольшей стороной будет e, строятся треугольники по заданным длинам сторон и объединяются вдоль стороны с длиной a, получая треугольник со сторонами c, e и b + d и площадью

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ (половина произведения основания на высоту).

Если a чётно, то площадь будет целым числом. Менее очевиден случай, когда a нечётно, но и в этом случае A остаётся целым, поскольку стороны b и d должны быть чётными числами, а следовательно, b+d тоже будет чётным.

Некоторые героновы треугольники невозможно получить объединением прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами методом, описанным выше. Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников^[4]. Такие героновы треугольники называются неразложимыми^[4]. Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, отказавшись от целочисленности, то разбиение на два прямоугольных треугольника с рациональными сторонами всегда существует^[5], поскольку все высоты геронова треугольника являются рациональными числами (поскольку высота равна удвоенной площади, делённой на основание, и оба эти числа являются целыми). Так, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 можно получить из рациональных пифагоровых треугольников со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Заметим, что рациональные пифагоровы тройки являются просто версиями целочисленных пифагоровых троек, поделённых на целое число.

Другие свойства героновых треугольников можно найти в статье Целочисленный треугольник#Героновы треугольники.

Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям^[6]

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

Полупериметр ${\displaystyle =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)}$

Площадь ${\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

Радиус вписанной окружности ${\displaystyle =k(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}}$

для целых m, n и k, где

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Коэффициент пропорциональности в общем случае является рациональным числом ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ , где  ${\displaystyle q=\gcd {(a,b,c)}}$  приводит полученный геронов треугольник к примитивному, а  ${\displaystyle p}$  растягивает его до требуемых размеров. Например, взяв m = 36, n = 4 и k = 3, получим треугольник со сторонами a = 5220, b = 900 и c = 5400, который подобен геронову треугольнику 5, 29, 30, и коэффициент пропорциональности имеет числитель p = 1 и знаменатель q = 180.

См. также Героновы треугольники с одним углом, вдвое большим другого, Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии и Равнобедренные героновы треугольники.

Список примитивных целочисленных героновых треугольников, отсортированный по площади и, в случае равенства площадей, по периметру. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трёх длин сторон равен 1.

Фигура называется сравнимой^[англ.], если площадь равна периметру. Имеется ровно пять сравнимых героновых треугольников — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17)^[7][8]

Поскольку площадь правильного треугольника с рациональными сторонами является числом иррациональным, никакой равносторонний треугольник не может быть героновым. Однако существует последовательность героновых треугольников, которые «почти правильные», поскольку их стороны имеют вид n − 1, n, n + 1. Несколько первых примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в таблице ниже (последовательность A003500 в OEIS).

Следующее значение для n можно найти, умножив предыдущее на 4, а затем вычтя значение, ему предшествующее (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, и т. д.). Таким образом,

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}$,

где t означает номер строки в таблице. Эта последовательность является последовательностью Люка. Можно также получить эту последовательность по формуле ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$ для всех n. Если положить A = площадь, а y = радиус вписанной окружности, то

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$,

где {n, y} являются решениями уравнения n² − 12y² = 4. Небольшая подстановка n = 2x даёт известное уравнение Пелля x² − 3y² = 1, решения которого можно получить из разложения √3 в непрерывную дробь^[9]

Переменная n имеет вид ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$, где k равно 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в этой последовательности имеют свойство, что k последовательных целых имеют целочисленное среднеквадратическое отклонение.^[10]

Существуют героновы треугольники, в которых две медианы также имеют рациональные длины. Бесконечное семейство таких треугольников порождается парой последовательностей Сомоса^[англ.], что было сначала замечено эмпирически и лишь затем строго доказано. На 2022 год известно также несколько примеров, не относящихся к этому бесконечному семейству^[11].

• Геронов тетраэдр^[англ.]
• Четырёхугольник Брахмагупты^[англ.]
• Прямоугольный треугольник
• Пятиугольник Роббинса
• Треугольник
• Целочисленный треугольник

• John R. Carlson. Determination of Heronian Triangles // Fibonacci Quarterly. — 1970. — Т. 8.
• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publications, Inc., 1959. — С. 1914, Diophantine Analysis.
• Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. The Brahmagupta Triangles. — 1998. — Т. 29, вып. 1 January. — doi:10.2307/2687630.
• Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers. — Dover Publications, 2005. — Т. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334.
• Andrew N. W. Hone. Heron triangles with two rational medians and Somos-5 sequences // European Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 8. — P. 1424–1486. — arXiv:2107.03197. — doi:10.1007/s40879-022-00586-w.
• L. Markowitz. Area = Perimeter // The Mathematics Teacher. — 1981. — Т. 74, вып. 3. — С. 222—3.
• William H. Richardson. Super-Heronian Triangles. — 2007.
• Wacław Sierpiński. Pythagorean Triangles. — Переиздание книги 1962 года. — Dover Publications, Inc., 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. Heronian Triangles // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, вып. 1 January. — С. 22—28. — JSTOR 2300173.
• S. Sh. Kozhegel'dinov. On fundamental Heronian triangles // Math. Notes. — 1994. — Т. 55, вып. 2. — С. 151—6. — doi:10.1007/BF02113294.