Гиперболические уравнения
Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.
Уравнения второго порядка
Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- ,
где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:
- ,
где — положительно определённый эллиптический оператор, .
Уравнения первого порядка на плоскости
Уравнение типа
- ,
где , , — квадратные матрицы и — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров[2].
Решение гиперболических уравнений
Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями. Поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.
- Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном — в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
- Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
- Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами)[3], а также другие численные методы, подходящие для задачи.
Примеры гиперболических уравнений
- Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
- Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов , считая ненулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
- Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.
См. также
- Эллиптические уравнения
- Параболическое уравнение
- Схема с разностями против потока
Литература
- Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
- Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1984. — 208 с.
Примечания
- ↑ Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
- ↑ Bressan, A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. — Oxford university press. — ISBN 0-19-850700-3.
- ↑ Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.