Гипервещественное число

Гипервещественные числа (гипердействительные числа) — расширение поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$.

Термин «гипервещественное число» (англ. hyper-real number) был предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом^[англ.] в 1948 году^[1]. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть ${\displaystyle dV}$ — (бесконечно малый) элемент объёма…»^[2].

Множество гипервещественных чисел ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$. Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об ${\displaystyle \mathbb {R} }$ справедливы и для ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$. Например, правило коммутативности сложения ${\displaystyle x+y=y+x}$ справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века^[3].

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной ${\displaystyle f(x)}$ из аналитического становится чисто арифметическим:

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$

для бесконечно малого ${\displaystyle \Delta x}$, где ${\displaystyle \operatorname {st} }$ означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ состоит из трёх частей^[4]:

• отрицательные бесконечные числа,
• конечные числа,
• положительные бесконечные числа.

Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: ${\displaystyle a+\epsilon ,}$ где ${\displaystyle a}$ — вещественное число, а ${\displaystyle \epsilon }$ — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При ${\displaystyle a=0}$ получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких^[5].

Положим, что ${\displaystyle X}$ является тихоновским пространством, которое также называется ${\displaystyle T_{3.5}}$-пространством, а ${\displaystyle C(X)}$ — алгебра непрерывных вещественных функций на ${\displaystyle X}$. Пусть ${\displaystyle M}$ есть максимальный идеал в ${\displaystyle C(X)}$. Тогда факторкольцо ${\displaystyle A=C(X)/M}$, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если ${\displaystyle F}$ строго содержит ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle M}$ называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а ${\displaystyle F}$ — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля ${\displaystyle F}$ больше, чем у поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство ${\displaystyle X}$ является дискретным пространством, в этом случае ${\displaystyle X}$ можно отождествить с мощностью множества ${\displaystyle \kappa }$, и ${\displaystyle C(X)}$ с вещественной алгеброй ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa }}$ функций ${\displaystyle \kappa }$ от ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями^[англ.] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. — Новосибирск: Институт математики, 2006.
• Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: Мир, 1980.
• Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.