Гипотеза Бибербаха

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим ${\displaystyle \Delta }$ — открытый единичный круг комплексной плоскости: ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$.

${\displaystyle S}$ — множество всех аналитических и однолистных в ${\displaystyle \Delta }$ функций ${\displaystyle f(z)}$, имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$

По гипотезе коэффициенты ${\displaystyle |c_{n}|\leqslant n}$, причём ${\displaystyle c_{n}=n}$ только для функций Кёбе вида

${\displaystyle k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{i\theta })^{2}}}.}$

• 1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при ${\displaystyle n=2}$.
• 1923 год — доказана гипотеза для ${\displaystyle n=3}$. Автор доказательства — Чарльз Лёвнер^[англ.], для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
• 1955 год — доказательство для ${\displaystyle n=4}$. Авторы — Гарабедян^[англ.], Шиффер^[англ.]. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
• 1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для ${\displaystyle n=6}$ — Роджер Педерсон (Roger N. Pederson), Мицуру Одзава (Mitsuru Ozawa).
• 1972 год — доказана гипотеза для ${\displaystyle n=5}$ — Педерсон, Шиффер.

• 1925 год — Литлвуд доказывает, что ${\displaystyle |c_{n}|\leqslant e\cdot n}$ для любого ${\displaystyle n}$.
• 1951 год — Базилевич, Милин Исаак Моисеевич: доказано соотношение ${\displaystyle |c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm {const} }$.
• 1965 год — Милин: ${\displaystyle |c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n}$.
• 1971 год — Милин: высказывает предположение, что сконструированная им последовательность логарифмических функционалов ( функционалы Милина) неположительна для любой функции из класса S и отмечает, что это свойство влечет доказательство гипотезы Бибербаха.
• 1972 год — Карл Фитцджеральд (Carl FitzGerald): ${\displaystyle |c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n}$.
• 1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.

• Koepf W. Bieberbach’s conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1–3, pp 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2