Гипотеза Бляшке

Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Бляшке — теорема в римановой геометрии; изначально сформулирована Вильгельмом Бляшке и доказанная позднее Марселем Берже, Джерри Кажданом, Аланом Вайнштейном в чётных размерностях и Чжунь-Дао Янгом^[англ.] в нечётных размерностях.

Формулировка

Предположим, $M$ есть односвязное полное риманово многообразие такое, что для каждой точки $p\in M$ существует точка $p'$ такая, что любая геодезическая, проходящая через $p$ , также проходит через $p'$ . Тогда $M$ изометрично сфере.

Замечания

Поверхность, удовлетворяющая условию теоремы называется поверхностью Бляшке.

Вариации и обобщения

Гипотеза допускает следующую эквивалентную формулировку:
Полное риманово многообразие изометрично сфере, если множество раздела любой его точки состоит из единственной точки.

Ссылки

Blaschke, Wilhelm. Vorlesung über Differentialgeometrie I (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1921.
C. T. Yang^[англ.]. Odd-dimensional wiedersehen manifolds are spheres (неопр.) // J. Differential Geom.. — 1980. — Т. 15, № 1. — С. 91—96. — ISSN 0022-040X.
Chavel, Isaac. Riemannian geometry: a modern introduction (англ.). — New York: Cambridge University Press. — P. 328—329. — ISBN 0-521-61954-8.

Похожие исследовательские статьи

Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Неприводимое риманово многообразие — риманово многообразие $\text{[math]}$ , у которого группа голономии неприводима, т. е. не имеет нетривиальных инвариантных подпространств.

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $\text{[math]}$ .

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Душа риманова многообразия $\text{[math]}$ — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два, а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.

<span class="mw-page-title-main">Теорема Дарбу в симплектической геометрии</span>

Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $\text{[math]}$ , у любой точки в $\text{[math]}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $\text{[math]}$ в ней, в которых симплектическая форма $\text{[math]}$ принимает канонический вид $\text{[math]}$ .

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

Теорема сравнения Берже — Каждана — результат в римановой геометрии. Теорема дает точную нижнюю оценку на объём риманова многообразия, в терминах радиуса инъективности, при этом в случае равенства многообразие изометрично стандартной сфере.

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

Разбиение Хегора — разбиение компактного ориентированного трёхмерного многообразия на два тела с ручками.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Список эпонимов, названных в честь немецкого математика, механика и физика Бернхарда Римана (1826—1866).

Геометрия Римана — одна из трёх «великих геометрий», которые, помимо римановской, включают геометрию Евклида и геометрию Лобачевского.
Гипотеза Римана — одна из проблем тысячелетия, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году.
Дзета-функция Римана — функция комплексного переменного, определяемая с помощью ряда Дирихле.
Дифференциальное уравнение Римана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки в любой точке сферы Римана.
Дифферинтеграл Римана — Лиувилля — обобщение понятия повторной первообразной, отображающее вещественную функцию в другую функцию того же типа.
Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва.
Инварианты Римана — в газовой динамике — комбинированные параметры для некоторых частных течений газообразной среды.
Интеграл Римана — одно из первых формализаций понятия интеграла.
Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом.
Кратный интеграл Римана — один из вариантов кратных интегралов по измеримым множествам.
Неравенство Римана — Пенроуза — неравенство, связывающее минимальную массу тела и площадь ловушечной поверхности чёрной дыры.
Обобщённые гипотезы Римана — формулирование гипотезы Римана для L-функций Дирихле.
Основная теорема римановой геометрии — наименование нескольких математических утверждений: Теоремы о связности Леви-Чивиты и Теоремы Нэша о регулярных вложениях.
Производная Римана — одно из симметричных предельных определений производной.
Псевдориманово многообразие — многообразие, в котором задан метрический тензор, невырожденный в каждой точке, но не обязательно положительно определённый.
Риманова геометрия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой.
Риманова поверхность — традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.
Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Риманово многообразие — вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом.
Субриманово многообразие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие.
Сумма Римана — одно из классических определений интегральных сумм.
Сфера Римана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости, являющаяся комплексной проективной прямой.
Тензор кривизны Римана — стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
Теорема Римана об отображении — важнейшая закономерность 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.
Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема математического анализа, утверждающая, что перестановкой членов произвольного условно сходящегося ряда можно получить произвольное значение.
Теорема Римана об устранимой особой точке — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.
Теорема Римана — Роха — важная теорема математики, особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии, помогающая в вычислении размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешёнными полюсами.
Условия Коши — Римана — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного.
Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана.
Функция Римана — одна из функций, определённых Риманом: Дзета-функция Римана, Кси-функция Римана, Тета-функция Римана, Функция Римана, Функция Римана, Функция Римана (ТФДП).
Функция Римана (ТФДП) — пример функции вещественной переменной, которая непрерывна на множестве иррациональных чисел, но разрывна на множестве рациональных.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.