Гипотеза Даффина — Шаффера

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году[1]: для всякой функции почти для всех (относительно меры Лебега) неравенство:

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах () тогда и только тогда, когда:

,

где  — функция Эйлера.

Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом[2].

История

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится.[3] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа или , или .[4][5] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай .[6][7] Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результат[8], гипотеза верна, если существует число , такое что ряд:

.

В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезы[4][9][10].

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее[11].

Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году[2].

Примечания

  1. ↑ R. J.; Duffin. Khintchine's problem in metric diophantine approximation (англ.) // Duke Math. J.[англ.] : journal. — 1941. — Vol. 8, no. 2. — P. 243—255. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00818-9.
  2. ↑ 1 2 D.; Koukoulopoulos. On the Duffin–Schaeffer conjecture (неопр.). — 2019. — arXiv:1907.04593.
  3. ↑ Harman (2002) p. 68
  4. ↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (англ.). — 1994. — Vol. 84.
  5. ↑ Harman (1998) p. 27
  6. ↑ Department of Mathematics. (недоступная ссылка)
  7. ↑ Harman (1998) p. 28
  8. ↑ A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
  9. ↑ A.D.; Pollington. The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture (англ.) // Mathematika[англ.] : journal. — 1990. — Vol. 37. — P. 190—200. — ISSN 0025-5793. — doi:10.1112/s0025579300012900.
  10. ↑ Harman (2002) p. 69
  11. ↑ Victor; Beresnevich. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2006. — Vol. 164. — P. 971—992. — ISSN 0003-486X. — doi:10.4007/annals.2006.164.971. — arXiv:math/0412141.

Литература

  • Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
  • Harman, Glyn (2002). «One hundred years of normal numbers». In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
  • Kevin Hartnett. New Proof Settles How to Approximate Numbers Like Pi // Quanta. — 2019. Архивировано 6 октября 2024 года.