Гипотеза Пиллаи

Гипо́теза Пиллаи — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой при заданных натуральных числах $A,B,C$ уравнение:

Ax^{m}-By^{n}=C

имеет лишь конечное число решений $(x,y,m,n)$ в натуральных числах при $(m,n)\neq (2,2)$ и $m,n>1$ .

Иными словами, любое натуральное число $C$ может быть представлено лишь конечным количеством разностей совершенных степеней.

Сформулирована Суббайей Пиллаи (там. சு. சி. பிள்ளை) в 1931 году как обобщение гипотезы Каталана; несмотря на то, что гипотеза Каталана доказана 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu), гипотеза Пиллаи остаётся нерешённой проблемой по состоянию на 2024 год.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Pillai's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Пифагорова тройка</span>

Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел $\text{[math]}$ удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

\text{[math]}

Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества — характеристика множеств, обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

<span class="mw-page-title-main">Факторизация целых чисел</span> Разложение натурального числа на простые множители

Факториза́цией натурального числа называется его разложение в произведение простых множителей. Существование и единственность такого разложения следует из основной теоремы арифметики.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

\text{[math]}

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями. Результат умножения называется их произведением.

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество $\text{[math]}$ , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Элемент $\text{[math]}$ называется единицей и часто обозначается $\text{[math]}$ . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Группа называется конечной $\text{[math]}$ -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $\text{[math]}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или иногда просто $\text{[math]}$ , если основание $\text{[math]}$ подразумевается. Обычно число $\text{[math]}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

<span class="mw-page-title-main">Возведение в степень</span> математическая операция

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием $\text{[math]}$ и натуральным показателем $\text{[math]}$ обозначается как

\text{[math]}

Эллиптическая криптография — раздел криптографии, который изучает асимметричные криптосистемы, основанные на эллиптических кривых над конечными полями. Основное преимущество эллиптической криптографии заключается в том, что на сегодняшний день не известно существование субэкспоненциальных алгоритмов решения задачи дискретного логарифмирования.

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма: если $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ имеют общий простой делитель.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

abc-гипотеза — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году.

Гипо́теза Катала́на — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:

\text{[math]}

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

\text{[math]}

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.