Гипотеза Пойи

График сумм $L(n)$ вплоть до $n=10^{7}$ . Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Логарифмический график $L(n)$ вплоть до $n=2\cdot 10^{9}$ . Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции $L(n)$ .

Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — 906 150 257 — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.

Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого $n$ выполнено неравенство:

L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0

где $\lambda (k)$ — функция Лиувилля, принимающая значение $1$ , если $k$ разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и $-1$ в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно $1{,}845\cdot 10^{361}$ . Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — 906 150 257. Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079; максимум, которого достигает $L(n)$ в этом диапазоне — 829 (для 906 316 571). Неизвестно, меняет ли $L(n)$ знак бесконечное количество раз^[1].

Нули функции

Нули функции $L(n)$ распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом^[2]:

2; 4; 6; 10; 16; 26; 40; 96; 586; 906 150 256; 906 150 294; 906 150 308; 906 150 310; 906 150 314, …

Медленный рост продолжается вплоть до члена под номером 252, равного 906 488 080, а следующий член уже равен 351 100 332 278 250.

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Pólya Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ последовательность A028488 в OEIS

Ссылки

Популярное видео на канале SparksMaths Архивная копия от 28 августа 2020 на Wayback Machine
Статья на MathWorld Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine

Гипотезы о простых числах

Гипотезы

Похожие исследовательские статьи

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа $\text{[math]}$ никакую $\text{[math]}$ -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

\text{[math]}

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

Разбие́ние натурального числа́ $\text{[math]}$ — это такое представление числа $\text{[math]}$ в виде суммы положительных целых чисел $\text{[math]}$ , которое, в отличие от композиции, не учитывает порядок слагаемых. Слагаемые $\text{[math]}$ в разбиении называются частями. В канонической записи разбиения слагаемые перечисляются в невозрастающем порядке.

Ро-алгоритм — предложенный Джоном Поллардом в 1975 году алгоритм, служащий для факторизации целых чисел. Данный алгоритм основывается на алгоритме Флойда поиска длины цикла в последовательности и некоторых следствиях из парадокса дней рождения. Алгоритм наиболее эффективен при факторизации составных чисел с достаточно малыми множителями в разложении. Сложность алгоритма оценивается как $\text{[math]}$ .

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ .

Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых $\text{[math]}$ таких, что $\text{[math]}$ тоже простое?
гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
существует ли бесконечно много простых чисел $\text{[math]}$ , для которых $\text{[math]}$ является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида $\text{[math]}$ ?

Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа $\text{[math]}$ по модулю $\text{[math]}$ называется наименьшее положительное целое число $\text{[math]}$ , такое, что

\text{[math]}

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\text{[math]}$ растёт с увеличением $\text{[math]}$ как $\text{[math]}$ , то есть:

\text{[math]}

, когда

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Регулярный граф</span> граф, степени всех вершин которого равны

Регуля́рный (одноро́дный) граф — граф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается $\text{[math]}$ . Для нерегулярных графов $\text{[math]}$ не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $\text{[math]}$ формулой:

\text{[math]}

Тест множителей Лагранжа — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом Вальда. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная:

\text{[math]}

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение $\text{[math]}$ , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

\text{[math]}

Функция Кармайкла — теоретико-числовая функция, обозначаемая $\text{[math]}$ , равная наименьшему показателю $\text{[math]}$ такому, что

\text{[math]}

L-функция Артина — это вид ряда Дирихле, связанный с представлением $\text{[math]}$ группы Галуа $\text{[math]}$ расширения числового поля. Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином, в связи с его работой в теории полей классов. Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L-функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса. До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.

Суперизбыточное число — натуральное число $\text{[math]}$ такое, что для всех $\text{[math]}$ выполнено

\text{[math]}

В теории чисел теорема Виноградова является результатом, из которого следует, что любое достаточно большое нечётное целое число может быть записано как сумма трёх простых чисел. Это более слабая форма слабой гипотезы Гольдбаха, которая подразумевает существование такого представления для всех нечётных целых чисел, превышающих пять.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.