Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2024 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие гомотопически эквивалентно ${\displaystyle n}$-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре эквивалентна частному случаю обобщённой гипотезы при ${\displaystyle n=3}$. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии ${\displaystyle M}$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие ${\displaystyle M}$ можно представить как набор сферических пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, соединённых друг с другом трубками ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ и более того все ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ тривиальны. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом^[англ.] (для ${\displaystyle n\geqslant 5}$, его доказательство было распространено на случаи ${\displaystyle n=5,6}$ Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая ${\displaystyle n=4}$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

• В 1986 году Майкл Фридман стал Филдсовским лауреатом.
• В 2006 году Григорий Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался).
• В 2010 году математический институт Клэя присудил^[2] Перельману Премию тысячелетия (отказался).

• В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»^[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание^[4].
• В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую^[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре^[6].

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана) Архивная копия от 4 августа 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. — 2019. — Сер. 3. — Вып. 24. — С. 53—69.

• Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (англ.) // ArXiv.org — 2002. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0211159
• Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0303109
• Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0307245
• Milnor J. The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
• С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1—2. Архивировано 18 июня 2017 года.
• Morgan J., Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.) // ArXiv.org — 2006. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0607607
• B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers (англ.)
• Terence Tao''. Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)