Гипотеза Хедетниеми
Гипотеза Хедетниеми — математическая гипотеза, в общем случае опровергнутая, предположение о связи между раскраской графов и тензорным произведением графов:
- ,
где — хроматическое число неориентированного конечного графа .
Сформулирована Стефеном Хедетниеми в 1966 году.
В 2019 году российский математик Ярослав Шитов опровергнул гипотезу, предложив контрпример к ней[1][2].
Неравенство подтвердить просто — если граф раскрашен в цветов, можно раскрасить в цветов путём использования той же раскраски для каждой копии в произведении, из симметричного рассуждения следует ограничение по . Таким образом, гипотеза Хедетниеми утверждает, что тензорные произведения не могут быть раскрашены с неожиданно малым числом цветов.
Частные случаи, в которых гипотеза верна
Любой граф с непустым множеством рёбер требует по меньшей мере два цвета. Если и оба не 1-раскрашиваемы, то есть оба содержат по ребру, то их произведение также содержит ребро, а потому также не 1-раскрашиваемо. В частности, гипотеза верна, когда или является двудольным графом, поскольку тогда хроматическое число их произведения равно либо 1, либо 2.
Аналогично, если два графа и не раскрашиваются в два цвета, то есть не двудольные, тогда оба содержат цикл нечётной длины. Поскольку произведение двух нечётных циклов содержит нечётный цикл, произведение также не может быть раскрашено в 2 цвета. Другими словами, если можно раскрасить в 2 цвета, то по меньшей мере один из графов или должен позволять раскраску в 2 цвета.
Следующий случай доказали много позже формулировки гипотезы Эль-Захар и Зауэр[3] — если произведение можно раскрасить в 3 цвета, то один из графов или должен также позволять раскраску в 3 цвета. В частности, гипотеза верна, когда или позволяет раскраску в 4 цвета (поскольку тогда неравенство может быть строгим, только когда позволяет раскраску в 3 цвета). В остальных случаях оба графа в тензорном произведении должны иметь по меньшей мере 5-цветную раскраску и дальнейший прогресс есть только в очень ограниченных ситуациях.
Слабая гипотеза Хедетниеми
Следующая функция (известная как функция Поляка — Рёдля) измеряет, насколько мало́ может быть хроматическое число произведения -хроматических графов.
Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна высказыванию, что . Слабая гипотеза Хедетниеми вместо этого просто утверждает, что функция не ограничена. Другими словами, если тензорное произведение двух графов можно раскрасить в несколько цветов, из этого должно следовать ограничение на хроматическое число одного из множителей.
Главный результат Поляка и Рёдля[4], независимо улучшенный Поляком, Шмерлем и Зу, утверждает, что если функция ограничена, то она ограничена максимум значением 9. Тогда из доказательства гипотезы Хедетниеми для 10-хроматических графов будет следовать слабая гипотеза Хедетниеми для всех графов.
Мультипликативные графы
Гипотеза изучается в более общем контексте гомоморфизмов графов, особенно ввиду её связи с категорией графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок). Для любого фиксированного графа рассматриваются графы , которые допускают гомоморфизм в , что записывается как . Такие графы называются также -раскрашиваемыми. Это обобщает обычное понятие раскраски графов, поскольку из определения следует, что -раскраска является тем же самым, что и -раскраска (гомоморфизм в полный граф с вершинами).
Граф называется мультипликативным, если для любых графов и из выполнения следует выполнение или . Как и в случае классической раскраски, обратное всегда выполняется — если (или, симметрично ) -раскрашиваем, то легко -раскрашиваем путём использования тех же значений цветов для всех копий . Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна утверждению, что любой полный граф является мультипликативным.
Упомянутые выше известные случаи эквивалентны утверждениям, что графы , и мультипликативны. Случай широко открыт. С другой стороны, доказательство Эль-Захара и Зауэра[3] обобщили Хе́ггквист, Хелл, Миллер и Нойманн-Лара[5], доказав, что все графы-циклы мультипликативны. Позднее Тардиф[6] доказал более общий результат, что все цикловые клики с являются мультипликативными. В терминах циклового хроматического числа это означает, что если , то .
Примеры немультипликативных графов можно построить из двух графов и , которые несравнимы в порядке гомоморфизмов (то есть ни , ни не выполняется). В этом случае, образуя , мы тривиально получим , но ни , ни не имеют гомоморфизма в , поскольку, формируя проекцию или , получается противоречие.
Экспоненциальный граф
Поскольку тензорное произведение графов является категорийно-теоретическим произведением в категории графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок), гипотезу можно переформулировать в терминах следующего построения на графах и . Экспоненциальный граф — это граф со всеми функциями в качестве вершин (не только гомоморфизмы) и две функции и смежны, если вершина смежна вершине в для всех смежных вершин графа . В частности, имеется петля у функции (она смежна себе самой) тогда и только тогда, когда имеется гомоморфизм из в . Рассматривая под другим углом, можно сказать, что между и имеется ребро, когда две функции определяют гомоморфизм из (Двойное покрытие двудольным графом графа ) в .
Экспоненциальный граф является экспоненциалом в категории графов. Это означает, что гомоморфизмы из в граф соответствуют гомоморфизмам из в . Более того, имеется гомоморфизм , задаваемый выражением . Эти свойства позволяют заключить, что мультипликативность графа эквивалентна утверждению[3]: для любых графов и либо , либо является -раскрашиваемым.
Другими словами, гипотезу Хедетниеми можно рассматривать как утверждение об экспоненциальных графах — для любого целого граф либо -раскрашиваем, либо содержит петлю (это означает, что является -раскрашиваемым). Можно также видеть гомоморфизмы как самые трудные случаи гипотезы Хедетниеми — если произведение было бы контрпримером, то и было бы контрпримером.
Обобщения
Обобщение на ориентированные графы имеет простой контрпример, как показали Поляк и Рёдль[4]. Хроматическое число ориентированного графа является просто хроматическим числом соответствующего неориентированного графа, но тензорное произведение имеет в точности половину числа рёбер (для дуг в и в тензорное произведение имеет только одно ребро из в , в то время как произведение неориентированных графов имеет также ребро между и ). Однако оказывается, что слабая гипотеза Хедетниеми эквивалентна для неориентированных и ориентированных графов[7].
Проблему нельзя обобщить на бесконечные графы — Хайнл[8] привёл пример двух бесконечных графов, каждый из которых требует для раскраски бесконечное число красок, но их произведение можно раскрасить конечным набором цветов. Ринот[9] доказал, что в конструктивном универсуме для любого бесконечного кардинала существует пара графов с хроматическим числом, большим , таких, что из произведение может быть раскрашено лишь конечным числом цветов.
Связанные проблемы
Похожее равенство для прямого произведения графов доказал Сабидусси[10] и оно было переоткрыто после этого несколько раз. Точная формула известна для лексикографического произведения графов. Дуффус, Сэндс и Вудроу[11] предложили две более строгие гипотезы с единственностью раскраски.
Примечания
- ↑ Владимир Потапов. В поисках хроматического числа . N+1 (30 мая 2019). Дата обращения: 30 мая 2019. Архивировано 30 мая 2019 года.
- ↑ Yaroslav Shitov. Counterexamples to Hedetniemi's conjecture (англ.) // Annals of Mathematics. — 2019. — September (vol. 190, iss. 2). — P. 663—667. — doi:10.4007/annals.2019.190.2.6. — arXiv:1905.02167.
- ↑ 1 2 3 El-Zahar, Sauer, 1985.
- ↑ 1 2 Poljak, Rödl, 1981.
- ↑ Häggkvist, Hell, Miller, Neumann-Lara, 1988.
- ↑ Tardif, 2005.
- ↑ Tardif, Wehlau, 2006.
- ↑ Hajnal, 1985.
- ↑ Rinot, 2013.
- ↑ Sabidussi, 1957.
- ↑ Duffus, Sands, Woodrow, 1985.
Литература
- Duffus D., Sands B., Woodrow R. E. On the chromatic number of the product of graphs // Journal of Graph Theory. — 1985. — Т. 9, вып. 4. — С. 487–495. — doi:10.1002/jgt.3190090409.
- El-Zahar M., Sauer N. The chromatic number of the product of two 4-chromatic graphs is 4 // Combinatorica. — 1985. — Т. 5, вып. 2. — С. 121–126. — doi:10.1007/BF02579374.
- Häggkvist R., Hell P., Miller D. J., Neumann-Lara V. On multiplicative graphs and the product conjecture // Combinatorica. — 1988. — Т. 8, вып. 1. — С. 63–74. — doi:10.1007/BF02122553.
- Hajnal A. The chromatic number of the product of two ℵ1 chromatic graphs can be countable // Combinatorica. — 1985. — Т. 5, вып. 2. — С. 137–140. — doi:10.1007/BF02579376.
- Hedetniemi S. Homomorphisms of graphs and automata. — University of Michigan, 1966. — (Technical Report 03105-44-T).
- Poljak S., Rödl V. On the arc-chromatic number of a digraph // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1981. — Т. 31, № 2. — С. 190—198. — doi:10.1016/S0095-8956(81)80024-X.
- Rinot A. Hedetniemi's conjecture for uncountable graphs. — 2013. — arXiv:1307.6841. . —
- Sabidussi G. Graphs with given group and given graph-theoretical properties // Canadian Journal of Mathematics. — 1957. — Т. 9. — С. 515–525. — doi:10.4153/CJM-1957-060-7.
- Tardif C. Multiplicative graphs and semi-lattice endomorphisms in the category of graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2005. — Т. 95, № 2. — С. 338—345. — doi:10.1016/j.jctb.2005.06.002.
- Tardif C., Wehlau D. Chromatic numbers of products of graphs: The directed and undirected versions of the Poljak-Rödl function // Journal of Graph Theory. — 2006. — Т. 51, № 1. — С. 33—36. — doi:10.1002/jgt.20117.
- Wilfried Imrich, Sandi Klavžar. Product Graphs: Structure and Recognition. — Wiley, 2000. — ISBN 0-471-37039-8.
- Sandi Klavžar. Coloring graph products: a survey // Discrete Mathematics. — 1996. — Т. 155, вып. 1–3. — С. 135–145. — doi:10.1016/0012-365X(94)00377-U.
- Sauer N. Hedetniemi's conjecture: a survey // Discrete Mathematics. — 2001. — Т. 229, вып. 1–3. — С. 261–292. — doi:10.1016/S0012-365X(00)00213-2.
- Claude Tardif. Hedetniemi's conjecture, 40 years later // Graph Theory Notes of New York. — 2008. — Т. 54. — С. 46—57.
- Xuding Zhu. A survey on Hedetniemi's conjecture // Taiwanese J. Math.. — 1998. — Т. 2, вып. 1. — С. 1–24.