Гипотеза Эллиота — Халберстама

Гипотеза Эллиота — Халберстама ${\displaystyle EH(\theta )}$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam).

Пусть ${\displaystyle \pi (x)}$ — число простых чисел, не превышающих ${\displaystyle x}$. Если ${\displaystyle q}$ — натуральное число, а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$ — взаимно простые числа, то мы обозначим ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ — число простых чисел, не превышающих ${\displaystyle x}$ и равных ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle q}$. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}},}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$ взаимно просты, а ${\displaystyle \varphi (q)}$ — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

${\displaystyle \Delta (x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,}$

где максимум берется по всем ${\displaystyle a,}$ взаимно простым с ${\displaystyle q.}$

Тогда для всех ${\displaystyle \theta <1}$ и всех ${\displaystyle A>0}$ найдётся такая константа ${\displaystyle C>0}$, что выполняется

${\displaystyle \sum _{1\leqslant q\leqslant x^{\theta }}\Delta (x;q)\leqslant {\frac {Cx}{\ln ^{A}x}}}$

для всех ${\displaystyle x>2.}$

Эта гипотеза была доказана для всех ${\displaystyle \theta <1/2}$ Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке ${\displaystyle \theta =1.}$

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает^[1], что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6^[2].

• Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. — 1965. — Т. 29, вып. 4. — С. 903–934.
• Bombieri, E. On the large sieve // Mathematica. — 1965. — Т. 12. — P. 201–225. — doi:10.1112/s0025579300005313.
• Elliott, P. D. T. A.; Halberstam, H. A conjecture in prime number theory // Symp. Math.. — 1968. — Vol. 4. — P. 59-72.
• Soundararajan, K. Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım // Bull. AMS. — 2007. — Vol. 44, № 1. — P. 1–18.