Гипотеза Эрдёша — Бура

Гипотеза Эрдёша — Бура — математическая проблема, касающаяся числа Рамсея на разреженных графах. Гипотеза названа в честь Пала Эрдёша и Стефана Бура. Гипотеза утверждает, что число Рамсея в любом семействе разреженных графов должно иметь почти линейный рост в зависимости от числа вершин графа.

Эта гипотеза была полностью доказана Choongbum Lee в 2017 году (и таким образом теперь она является теоремой)^[1]

Если G — неориентированный граф, то вырожденность G — это минимальное число p, такое, что любой подграф G содержит вершину степени p или меньше. Граф A c вырожденностью p называется p-вырожденным. p-вырожденность графа можно определить также как возможность свести граф к пустому путём последовательного удаления вершин степени p и меньше.

Из теоремы Рамсея следует, что для любого графа G существует такое целое ${\displaystyle r(G)}$, называемое числом Рамсея для G, что любой полный граф с не менее чем ${\displaystyle r(G)}$ вершинами, рёбра которого выкрашены в красный и синий цвета, содержит монохромную копию графа G. Например, число Рамсея для треугольника равно 6: независимо от того, каким образом раскрашены рёбра полного графа из шести вершин в красный и синий цвета, всегда найдётся красный или синий треугольник.

В 1973 году Пол Эрдёш и Стефан Бур высказали следующую гипотезу:

Для любого целого p существует константа c_p, такая, что любой p-вырожденный граф G на n вершинах имеет число Рамсея, не превышающее c_p n.

Таким образом, если граф G с n вершинами является p-вырожденным, то монохроматическая копия графа G должна существовать в любом окрашенном двумя цветами графе с c_p n вершинами.

До того как гипотеза была полностью доказана, она была доказана в некоторых частных случаях, так, доказательство гипотезы для графов с ограниченной степенью вершин приведено в статье Хватала, Рёдля, Семереди и Троттера^[2]. Их доказательство приводит к очень большому значению c_p. Константа была улучшена в статье Нэнси Итон (Nancy Eaton)^[3] и в статье Рональда Грэма (Ronald Graham)^[4].

Известно, что гипотеза верна для p-ограниченных графов, которые включают в себя графы с ограниченной максимальной степенью вершин, плоские графы и графы, не содержащие расщепления K_p (здесь под расщеплением понимается операция, обратная стягиванию, то есть замена дуги на две дуги с добавлением вершины)^[5].

Известно, что гипотеза верна для расщепленных графов, то есть графов, у которых никакие две соседние вершины не имеют степень, большую двух^[6].

Для произвольного графа известно, что число Рамсея ограничено функцией, которая растет слегка сверхлинейно. А именно, Фокс и Судаков^[7] показали, что существует константа c_p, такая, что для любого p-вырожденного графа G с n вершинами

${\displaystyle r(G)\leqslant 2^{c_{p}{\sqrt {\log n}}}n.}$

• Стефан Бур (Stefan Burr), Пол Эрдёш. Бесконечные и конечные множества = Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. Erdős on his 60th birthday), Vol. 1. — Amsterdam: North-Holland, 1975. — Т. 10. — С. 214–240. — (Colloq. Math. Soc. János Bolyai)..
• Гуантано Чен (Guantao Chen), Ричард Шелп (Richard H. Schelp). Графы с линейно ограниченными числами Рамсея = Graphs with linearly bounded Ramsey numbers // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1993. — Т. 57, вып. 1. — С. 138–149. — doi:10.1006/jctb.1993.1012..
• Рональд Грэм (Ronald Graham), Войцех Рёдль (Vojtěch Rödl), Анджей Ручински (Andrzej Rucínski). Пол Эрдёш и его математика (Будапешт, 1999) = Paul Erdős and his mathematics (Budapest, 1999) // Combinatorica. — 2001. — Т. 21, вып. 2. — С. 199–209. — doi:10.1007/s004930100018.