Гипотеза Эрдёша — Грэма

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого и любой -раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество этих целых чисел, такое что:

,

и максимальный элемент множества можно ограничить значением с некоторой константой , независимой от . Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы было не меньше числа .

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка очень велика — число должно быть не больше . Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств гладких чисел в интервалах вида , где содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум . Таким образом, если целые числа -раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество , удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Примечания

Ссылки

  • Croot, Ernest S., III. Unit Fractions. — University of Georgia, Athens, 2000.
  • Croot, Ernest S., III. On a coloring conjecture about unit fractions // Annals of Mathematics. — 2003. — Т. 157, вып. 2. — С. 545—556. — doi:10.4007/annals.2003.157.545. — arXiv:math.NT/0311421.
  • Пал Эрдёш, Рональд Л. Грэм. Old and new problems and results in combinatorial number theory // L’Enseignement Mathématique. — 1980. — Т. 28. — С. 30—44.
  • Ernie Croot’s Webpage Архивная копия от 9 апреля 2009 на Wayback Machine