Гипотеза H

Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза H (гипотеза Шинцеля) — обобщение гипотезы Диксона, заключающееся в том, что набор многочленов для бесконечного множества целых значений аргументов принимает простые значения при выполнении некоторого дополнительного условия. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем.

Формулировка

Пусть полиномы с целочисленными коэффициентами f₁(n), … f_k(n), где n также целое, являются неприводимыми, и их старшие коэффициенты положительны. Если они таковы, что для каждого простого числа p можно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будут делиться на p, то тогда существует бесконечно много положительных n, при которых значение каждого из этих полиномов будет простым числом.

Частные случаи

Известными примерами являются полином

n^{2}+1

и так называемые простые числа-близнецы, для которых, однако, справедливость гипотезы не доказана.

Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле. Так, для двух целых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида

a,a+d,a+2d,\ldots ,a+nd,\ldots ,\quad d>0

содержит бесконечное количество простых чисел.

См. также

Гипотеза Буняковского

Литература

Crandall, Richard, Pomerance, Carl B. Prime Numbers: A Computational Perspective. — 2nd ed.. — Springer, 2005. — P. 13, 17—18. — 597 p. — ISBN 978-0-387-28979-3.
Alladi, K., Elliott, P. D. T. A., Granville, A., Tenenbaum, G. Analytic and Elementary Number Theory. — Springer, 1998. — Vol. 1. — P. 71. — 304 p. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-7923-8273-7.

Ссылки

Chris K. Caldwell. Hypothesis H (англ.). The Prime Glossary. The University of Tennessee at Martin. Дата обращения: 15 ноября 2012. Архивировано 8 января 2013 года.

Гипотезы о простых числах

Гипотезы

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — теорема теории чисел, которая утверждает, что:

Если $\text{[math]}$ — простое число и $\text{[math]}$ — целое число, не делящееся на $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ делится на $\text{[math]}$

Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

\text{[math]}

p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

<span class="mw-page-title-main">Аксиома Архимеда</span> математическая аксиома

Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировано Евдоксом Книдским в его теории отношений величин :

<span class="mw-page-title-main">Функция Эйлера</span> мультипликативная арифметическая функция

Фу́нкция Э́йлера $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных $\text{[math]}$ и взаимно простых с ним.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 3². Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … последовательность A005117 в OEIS

Метод квадратичных форм Шенкса — метод факторизации целых чисел, основанный на применении квадратичных форм, разработанный Даниелем Шенксом в 1975 году, как развитие метода факторизации Ферма.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом в 1909-м году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как $\text{[math]}$ и e, являются трансцендентными, а $\text{[math]}$ не является, поскольку $\text{[math]}$ есть корень многочлена $\text{[math]}$ .

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Весьма суперсоставное число</span>

В математике весьма суперсоставное число — это натуральное число, которое имеет больше делителей, чем любое другое число, масштабируемое относительно некоторой положительной степени самого числа. Это более сильное ограничение, чем ограничение сверхсоставного числа, которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Гипотеза Бейтмана — Хорна — теоретико-числовое утверждение, касающееся частоты простых чисел среди значений системы многочленов. Сформулирована Полом Бейтманом и Роджером Хорном в 1962 году. Является обобщением гипотезы Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов и гипотезы о простых числах вида n² + 1; а также является усилением гипотезы H.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.