Гипотезы Мерсенна

Гипотезы Мерсенна касаются описания простых чисел чисел Мерсенна (чисел, равных степеням двойки без единицы).

Исходная гипотеза Мерсенна

Исходная гипотеза, называемая гипотезой Мерсенна, это утверждение Марена Мерсенна в его работе Cogitata Physica-Mathematica (1644; см. Dickson 1919), что числа $2^{n}-1$ простые для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составные для всех остальных положительных целых чисел n ≤ 257. Ввиду размеров этих чисел Мерсенн не проверил, и не мог проверить все эти числа в 17-м веке. В конечном счёте, после трёх столетий и доступности новых техник, таких как тест Люка — Лемера, было установлено, что гипотеза Мерсенна содержала пять ошибок, а именно, два составных (n = 67, 257) и три пропущенных простых (n = 61, 89, 107) чисел. Правильный список: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.

Хотя исходная гипотеза Мерсенна не верна, она привела к Новой гипотезе Мерсенна.

Новая гипотеза Мерсенна

Новая гипотеза Мерсенна или гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстафа^[1] утверждает, что для любого нечётного натурального числа p, если выполняется любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

p = 2^k ± 1 или p = 4^k ± 3 для некоторого натурального числа k. (A122834)
2^p − 1 является простым (число Мерсенна). (A000043)
(2^p + 1) / 3 является простым (простое число Вагстафа). (A000978)

Если p является нечётным составным, то $2^{p}-1$ и $(2^{p}+1)/3$ составные числа. Таким образом, для проверки верности гипотезы достаточно проверять лишь простые числа.

На настоящий момент известно, что среди чисел, для которых все три условия выполняются, находятся 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (A107360), и предполагается, что среди чисел, бо́льших 127, нет чисел, для которых все три условия выполняются.

Простые, для которых выполняется по меньшей мере одно условие:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (A120334)

Заметим, что два числа, с которыми Мерсенн ошибся (67 и 257), попадают в условия (67 = 2⁶ + 3, 257 = 2⁸ + 1), а 89 и 107 — нет. Таким образом, в исходном виде, Мерсенн мог думать, что 2^p − 1 является простым тогда и только тогда, когда p = 2^k ± 1 or p = 4^k ± 3 для некоторого натурального k.

Статус гипотезы Мерсенна для первых 100 простых
2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

p	p имеет вид 2ⁿ ± 1 или 4ⁿ ± 3
p	2^p − 1 является простым
p	(2^p + 1)/3 является простым
p	p удовлетворяет по меньшей мере одному условию

Новая гипотеза Мерсенна может рассматриваться как попытка решить гипотезу Мерсенна столетней давности, которая не верна. Однако, согласно Роберту Д. Сильверману^[2], Джон Селфридж считает, что новая гипотеза Мерсенна «очевидно верна», так как была сформулирована для удовлетворения известных данных и контрпримеры при условиях гипотезы крайне маловероятны. Её можно рассматривать скорее как курьёзное наблюдение, чем вопрос, требующий проверки.

Рено Лифшиц показал, что новая гипотеза верна для всех целых, меньших 20 996 010^[3] путём последовательной проверки всех нечётных простых чисел, для которых известно, что одно условие выполняется. На его веб-сайте^[4] задокументированы результаты проверки вплоть до указанного числа. Другая, более свежая версия страницы о новой гипотезе — «Новая гипотеза о простых числах Мерсенна»^[5].

Гипотеза Ленстра — Померанса — Вагстафа

Ленстра, Померанс, и Вагстаф высказали гипотезу, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна. Точнее, что число простых чисел Мерсенна, меньших x, асимптотически аппроксимируется выражением

e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log(x),

^[6],

где $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони. Другими словами, количество простых чисел Мерсенна с экспонентой p, меньшей y, асимптотически равно

e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).

^[6]

Это означает, что должно быть в среднем около $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ ≈ 5,92 простых чисел p с заданным количеством десятичных знаков, таких, что $M_{p}$ является простым.

См. также

Гипотеза Гиллиса^[англ.] о распределении количества простых делителей чисел Мерсенна
Тест Люка — Лемера
Тест простоты Люка

Примечания

↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989, с. 125—128.
↑ Thread: The New Mersenne Conjecture (англ.). mersenneforum.org. Дата обращения: 20 марта 2018. Архивировано 15 июня 2017 года.
↑ The New Mersenne Prime Conjecture on Prime Pages (англ.). Дата обращения: 20 марта 2018. Архивировано 6 марта 2018 года.
↑ Renaud Lifchitz. Status of the "New Mersenne Conjecture" (англ.). www.primenumbers.net. Дата обращения: 20 марта 2018. Архивировано 3 апреля 2019 года.
↑ Chris K. Caldwell. The New Mersenne Prime Conjecture (англ.). The Prime Pages. Дата обращения: 20 марта 2018. Архивировано 6 марта 2018 года.
↑ ¹ ² Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Архивная копия от 5 марта 2018 на Wayback Machine. The Prime Pages^[англ.]. Retrieved on 2014-05-11.

Литература

Bateman P. T., Selfridge J. L., Wagstaff Jr. S. S. The new Mersenne conjecture // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1989. — Т. 96, вып. 2. — С. 125—128. — doi:10.2307/2323195. — JSTOR 2323195.
Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. — 1919. — С. 31. Перепечатано издательством Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.