Главный идеал

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения ${\displaystyle \mathrm {lid} _{R}a}$, ${\displaystyle \mathrm {rid} _{R}a}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a}$ для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента ${\displaystyle a}$ кольца ${\displaystyle R}$ соответственно.

Левый идеал кольца ${\displaystyle R}$ называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом ${\displaystyle a}$. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Если ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый ${\displaystyle a}$, обозначают через ${\displaystyle (a)}$.

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• ${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}}$.

Если же ${\displaystyle R}$ — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• ${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Идеал ${\displaystyle (x,y)}$, порождённый многочленами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ${\displaystyle a\in \mathbb {C} [x,y]}$; тогда на него должны делиться ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Это возможно, только если ${\displaystyle a}$ — ненулевая константа. Но в ${\displaystyle (x,y)}$только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
• Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ как порождающий элемент идеала ${\displaystyle (a,b)}$.

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.