Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве

Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве — примеры гладких многообразий гомеоморфных, но не обязательно диффеоморфных четырёхмерному евклидову пространству.

Четырёхмерное евклидово пространство допускает экзотические гладкие структуры, то есть не диффеоморфные четырёхмерному евклидову пространству. В размерностях, отличных от 4, экзотических гладких структур на евклидовом пространстве не существует.

История

Существование таких примеров было доказано в 1982 году Майклом Фридманом и другими. Доказательство использовало теорему Фридмана о топологических 4-мерных многообразиях, и теорему Саймона Дональдсона о гладких 4-мерных многообразиях.

Существования континуума различных гладких структур на $\mathbb {R} ^{4}$ было доказано сначала Клиффордом Таубесом.

До этого существование экзотических гладких структур было известно на сферах, хотя вопрос о существовании таких структур на 4-мерной сфере остаётся открытым (по состоянию на 2016 год).

Типы

Экзотическую гладкую структуру $\mathbb {R} ^{4}$ называется малой, если она диффеоморфна открытому подмножеству стандартом $\mathbb {R} ^{4}$ . В противном случае называется большой.

Ссылки

Topology of 4-manifolds (неопр.). — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. — Т. 39. — ISBN 0-691-08577-3.
A universal smoothing of four-space (неопр.) // Journal of Differential Geometry. — 1986. — Т. 24, № 1. — С. 69—78. — ISSN 0022-040X. (недоступная ссылка)
Kirby, Robion C. The topology of 4-manifolds (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1989. — Т. 1374. — ISBN 3-540-51148-2.
Scorpan, Alexandru. The wild world of 4-manifolds (неопр.). — Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. — ISBN 978-0-8218-3749-8.
Stallings, John^[англ.]. The piecewise-linear structure of Euclidean space (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.^[англ.] : journal. — 1962. — Vol. 58, no. 3. — P. 481—488. — doi:10.1017/s0305004100036756. MR: 0149457
4-manifolds and Kirby calculus (неопр.). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — ISBN 0-8218-0994-6.
Taubes, Clifford Henry^[англ.]. Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds (англ.) // Journal of Differential Geometry : journal. — 1987. — Vol. 25, no. 3. — P. 363—430.

Похожие исследовательские статьи

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на $\text{[math]}$ гомотопно постоянному.

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Нильмногообразие — это гладкое многообразие, имеющее транзитивную нильпотентную группу диффеоморфизмов, действующих на этом многообразии. Нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству $\text{[math]}$ , факторгруппе нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Термин ввёл Анатолий И. Мальцев в 1951 году.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Исканде́р Аса́нович Тайма́нов — российский математик, доктор физико-математических наук, академик РАН (2011), специалист в области геометрии, вариационного исчисления в целом, теории солитонов и её применений.

<span class="mw-page-title-main">Дональдсон, Саймон</span> британский математик

Сэр Саймон Керван До́нальдсон — британский математик, лауреат международных премий. Знаменит работами в области топологии гладких (дифференцируемых) 4-мерных многообразий.

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами, состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа.

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Четырёхмерная топология — раздел топологии, который исследует топологические и гладкие четырёхмерные многообразия.

Форма пересечений ориентированного компактного 4-мерного многообразия — определённая симметричная билинейная форма на 2-й группе когомологий многообразия.

Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере.

Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

\text{[math]}

Клод Лебрю́н — североамериканский геометр, специалист в комплексной и дифференциальной геометрии, в первую очередь четырёхмерных многообразий, а также теории относительности. Профессор Университета штата Нью-Йорк в Стони-Бруке.

Трёхмерное многообразие — топологическое пространство, локально устроенное как трёхмерное евклидово пространство $\text{[math]}$ . Иными словами, многообразие размерности три. Является центральным понятием трёхмерной топологии.

Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Сельман Акбулут — турецкий математик, специалист по маломерной топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.