Гномон (фигура)

Гномон — геометрическая фигура, которая при соответствующем соединении с другой фигурой, образует фигуру, ей подобную.

Например, если взять параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$ и построить подобный параллелограмм ${\displaystyle DEFG}$ с общим углом ${\displaystyle D}$, то фигура ${\displaystyle ABCGFE}$ будет являться гномоном для фигуры ${\displaystyle DEFG}$.

Пифагорейцы исследовали фигурные числа. Стало известно, что эти числа можно получить, добавив гномон к предыдущему фигурному числу^[1].

Например, гномоном четырехугольного числа (квадрата) является нечетное число. Общий вид нечётного числа — ${\displaystyle 2n+1}$, число ${\displaystyle n}$ может быть равно 1, 2, 3... Например, если рассмотреть квадрат 8 (он равен 64), то он будет выглядеть как таблица:

${\displaystyle 8^{2}}$= 64

8	8	8	8	8	8	8	8
8	7	7	7	7	7	7	7
8	7	6	6	6	6	6	6
8	7	6	5	5	5	5	5
8	7	6	5	4	4	4	4
8	7	6	5	4	3	3	3
8	7	6	5	4	3	2	2
8	7	6	5	4	3	2	1

Чтобы из таблицы, демонстрирующей квадрат числа ${\displaystyle n}$, получить таблицу для демонстрации квадрата числа ${\displaystyle n+1}$, нужно добавить к таблице ${\displaystyle 2n+1}$ дополнительные клетки: по одному числу слева от каждой строки, по одному числу сверху от каждого столбца и ещё одно число в угол. Например, чтобы из таблицы для семёрки получить таблицу для восьмёрки, нужно добавить к таблице 15 элементов. Число клеток (в данном примере 64) и является квадратом числа.

С помощью этого метода можно доказать, что сумма первых ${\displaystyle n}$ нечетных чисел равна ${\displaystyle n^{2}}$. Так, в упомянутой фигуре всего 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 клетки, а это и есть ${\displaystyle 8^{2}}$.

• Теорема о гномоне