Гомологическое многообразие

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой $G$ есть локально компактное топологическое пространство $X$ с конечной $G$ -когомологической размерностью такое, что для любой точки $x\in X$ группы гомологий

H_{p}(X,X-x,G)=0

при $p\neq n$ и

H_{n}(X,X-x,G)=G.

Здесь $H$ есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа $G$ не уточняется, то считается $G=\mathbb {Z}$ .

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является $(n-1)$ -мерным гомологическим многообразием (без границы).

Примеры

Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
- Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.

Свойства

Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.^[1]
Если произведение пространств $X\times Y$ является топологическим многообразием, то каждое пространство $X$ и $Y$ является гомологическим многообразием.

Примечания

↑ Wilder, Raymond Louis Topology of manifolds. Reprint of 1963 edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, 32. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1979. xiii+403 pp. ISBN 0-8218-1032-4

Ссылки

Гомологическое многообразие — статья из Математической энциклопедии. Е. Г. Скляренко
W. J. R. Mitchell, «Defining the boundary of a homology manifold», Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 110, No. 2. (Oct., 1990), pp. 509—513.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Алгебраи́ческая тополо́гия — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Локальные гомологии — группы гомологий

\text{[math]}

Нильмногообразие — это гладкое многообразие, имеющее транзитивную нильпотентную группу диффеоморфизмов, действующих на этом многообразии. Нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству $\text{[math]}$ , факторгруппе нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Термин ввёл Анатолий И. Мальцев в 1951 году.

Ретракт топологического пространства $\text{[math]}$ — подпространство $\text{[math]}$ этого пространства, для которого существует ретракция $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ ; то есть непрерывное отображение $\text{[math]}$ , тождественное на $\text{[math]}$ .

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Теория гомоло́гий — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

Слоение — геометрическая конструкция в топологии: говорят, что на многообразии задано слоение размерности $\text{[math]}$ , если многообразие «нарезано» на «слои» размерности $\text{[math]}$ .

Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству $\text{[math]}$ соответствует некая последовательность чисел Бетти $\text{[math]}$ .

Нулевое число Бетти $\text{[math]}$ совпадает с числом связных компонент;
Первое число Бетти $\text{[math]}$ интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

<span class="mw-page-title-main">Конус (топология)</span>

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства $\text{[math]}$ стягиванием подпространства $\text{[math]}$ его цилиндра в одну точку, то есть, факторпространство $\text{[math]}$ . Конус над пространством $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ .

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

Четырёхмерная топология — раздел топологии, который исследует топологические и гладкие четырёхмерные многообразия.

Форма пересечений ориентированного компактного 4-мерного многообразия — определённая симметричная билинейная форма на 2-й группе когомологий многообразия.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Трёхмерное многообразие — топологическое пространство, локально устроенное как трёхмерное евклидово пространство $\text{[math]}$ . Иными словами, многообразие размерности три. Является центральным понятием трёхмерной топологии.

<span class="mw-page-title-main">Первая группа гомологий</span>

Первая группа гомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из петель в этом пространстве, рассматриваемых с точностью до гомологичности. Такие петли описывают форму пространства и измеряют количество его дыр. Первая группа гомологий является простейшим вариантом групп гомологий топологического пространства — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.