Гомотетия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом $k\neq 0$ , переводящее каждую точку $X$ в точку $X'$ такую, что ${\overrightarrow {OX'}}=k{\overrightarrow {OX}}$ . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_{O}^{k}$ .

Свойства

Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии $k$ » можно говорить «коэффициент подобия $k$ ».
Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как $A'B'/AB=B'C'/BC=k$ , то их площади будут относиться как $k^{2}$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
Композиция гомотетий с коэффициентами $k_{1}$ и $k_{2}$ , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом $k_{1}k_{2}$ , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения

Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как $R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }$ . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}$ .

См. также

Ссылки

Похожие исследовательские статьи

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.

<span class="mw-page-title-main">Подобие</span> преобразование евклидова пространства

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и их образов $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ имеет место соотношение $\text{[math]}$ , при некотором фиксированном $\text{[math]}$ , называемым коэффициентом подобия.

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные преобразования векторного псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Эпицикло́ида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Поворо́т (враще́ние) — движение плоскости или пространства, при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной.

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями определяются аксиомами геометрии.

Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.

<span class="mw-page-title-main">Плоскость</span> геометрический объект

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — расстояние до начала координат, а $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.

Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через $\text{[math]}$ , в то время как обозначение $\text{[math]}$ можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

<span class="mw-page-title-main">Асферическая линза</span>

Асфери́ческими называют линзы, одна или обе поверхности которых не являются сферическими.

Коэффицие́нт переда́чи — отношение приращения некоторой физической величины на выходе некоторой системы $\text{[math]}$ к вызвавшему это приращение приращению на входе этой системы $\text{[math]}$ :

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном $\text{[math]}$ -мерном многообразии.

Конхо́идное преобразова́ние — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки.

Произведе́ние векторо́в, или перемноже́ние векторо́в — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — произведение векторов. Эта операция должна обладать двумя свойствами:

подчиняться законам, аналогичным законам операции умножения чисел;
обобщать геометрические и физические операции.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.