Кликой неориентированного графа называется подмножество его вершин, любые две из которых соединены ребром. Клики являются одной из основных концепций теории графов и используются во многих других математических задачах и построениях с графами. Клики изучаются также в информатике — задача определения, существует ли клика данного размера в графе является NP-полной. Несмотря на эту трудность, изучаются многие алгоритмы для поиска клик.
Теорема Фа́ри — теоретико-графовое утверждение о возможности выпрямить рёбра любого планарного графа. Иными словами, разрешение рисовать рёбра не в виде отрезков, а в виде кривых, не расширяет класс планарных графов.
В теории графов граф называется хордальным, если каждый из его циклов, имеющих четыре ребра и более, имеет хорду.
В теории графов колесом Wn называется граф с n вершинами (n ≥ 4), образованный соединением единственной вершины со всеми вершинами (n-1)-цикла. Числовое обозначение колёс в литературе не устоялось — некоторые авторы используют n для обозначения длины цикла, так что их Wn означает граф Wn+1 по определению выше. Колесо может быть определено также, как 1-скелет (n-1)-угольной пирамиды.
Полиэдральный граф — неориентированный граф, образованный из вершин и рёбер выпуклого многогранника, или, в контексте теории графов — вершинно 3-связный планарный граф.
Граф Татта — пример кубического полиэдрального графа, не являющегося гамильтоновым. Таким образом, он служит контрпримером к гипотезе Тэйта, предполагавшей, что любой 3-регулярный многогранник имеет гамильтонов цикл.
В теории графов толщина графа G — это наименьшее число плоских подграфов, на которые можно разложить рёбра графа G. То есть, если существует набор k плоских графов, имеющих одинаковый набор вершин, объединение которых даёт граф G, то толщина графа G не больше k.
Теорема Штайница — это комбинаторное описание неориентированных графов, образованных рёбрами и вершинами трёхмерного выпуклого многогранника — они в точности являются (простыми) вершинно 3-связными планарными графами. То есть любой выпуклый многогранник образует 3-связный планарный граф, и любой 3-связный планарный граф может быть представлен как выпуклый многогранник. По этой причине 3-связные планарные графы называют также полиэдральными.
В теории графов верхушечный граф — это граф, который можно сделать планарным удалением одной вершины. Удалённая вершина называется верхушкой графа. Заметим, что верхушка может быть не одна. Например, в минимальном непланарном графе K5 или K3,3 каждая вершина является верхушкой. Верхушечные графы включают изначально планарные графы, в которых каждая вершина является верхушкой. Нуль-граф считается также верхушечным, хотя в нём нет вершин для удаления .
Гипотеза Тэйта — опровергнутая математическая гипотеза о том, что любой 3-связный планарный кубический граф имеет гамильтонов цикл, проходящий через все его вершины.
Гипотеза Барнетта — нерешённый вопрос в теории графов о существовании гамильтоновых циклов в графах. Гипотеза названа именем Дэвида В. Барнетта, эмерита калифорнийского университета в Дейвисе. Гипотеза утверждает, что любой двудольный граф многогранника с тремя рёбрами в каждой вершине имеет гамильтонов цикл.
Граф Аполлония — неориентированный граф, образованный рекурсивным процессом подразделения треугольника на три меньших треугольника. Графы Аполлония можно эквивалентно определить как планарные 3-деревья, как максимальные планарные хордальные графы, как однозначно 4-раскрашиваемые планарные графы или как графы блоковых многогранников. Графы названы именем Аполлония Пергского, изучавшего связанные построения упаковки кругов.
Теорема Гринберга — необходимое условие для планарного графа, чтобы он содержал гамильтонов цикл, основанное на длинах циклов граней. Результат широко используется для построения негамильтоновых графов с дополнительными свойствами. Например, были построены новые контрпримеры гипотезе Тэйта. Теорему доказал латвийский математик Эмануэль Гринберг в 1968 году.
Графы Эллингема — Хортона — два 3-регулярных графа с 54 и 78 вершинами — 54-граф Эллингема — Хортона и 78-граф Эллингема — Хортона. Графы названы именами Джозефа Хортона и Марка Эллингема, которые их открыли. Эти два графа дают контрпримеры гипотезе Уильяма Татта о том, что каждый кубический 3-связный двудольный граф является гамильтоновым.
Гипотеза Албертсона — недоказанная связь между числом пересечением и хроматическим числом графа. Гипотеза носит имя Михаила О. Албертсона, профессора колледжа Смит, который сформулировал утверждение в качестве гипотезы в 2007. Гипотеза является одной из многих гипотез в теории раскраски графов. Гипотеза утверждает, что среди всех графов, требующих n цветов, полный граф Kn находится среди графов, имеющих наименьшее число пересечений. Эквивалентно, если граф может быть нарисован с меньшим числом пересечений, чем у Kn, тогда, согласно гипотезе, его можно раскрасить в меньше чем n цветов.
Граф Пуссена — это планарный граф с 15 вершинами и 39 рёбрами. Он назван именем Шарля Жана де Ла Валле-Пуссена.
Граф Эрреры — граф с 17 вершинами и 45 рёбрами. Альфред Эррера опубликовал его в 1921 году как контрпример ошибочному доказательству Альфредом Кемпе теоремы о четырёх красках. Граф назвали именем Эрреры в статье 1998 года Хатчинсон и Вэгон.
Теорема Грёча — утверждение, что любой планарный граф без треугольников может быть раскрашен в три цвета. Согласно теореме о четырёх красках, для любого графа, который может быть нарисован на плоскости без пересечения рёбер, можно раскрасить его вершины не более чем в четыре различных цвета так, что любые два конца любого ребра имеют различные цвета. По теореме же Грёча достаточно лишь три цвета для планарных графов, которые не содержат трёх связанных друг с другом вершин.
