Граф (математика)

Граф — математическая абстракция реальной системы любой природы, объекты которой обладают парными связями. Граф как математический объект есть совокупность двух множеств — множества самих объектов, называемого множеством вершин, и множества их парных связей, называемого множеством рёбер. Элемент множества рёбер есть пара элементов множества вершин.

Графы находят широкое применение в современной науке и технике. Они используются и в естественных науках (физике и химии) и в социальных науках (например, социологии), но наибольших масштабов применение графов получило в информатике и сетевых технологиях.

В качестве простейшего примера из жизни можно привести схему перелётов определённой авиакомпании, которая моделируется графом, где вершинами графа являются города, а рёбрами — рейсы, соединяющие пары городов. Дерево каталогов в компьютере также является графом: диски, папки и файлы являются вершинами, а рёбра показывают вложенность файлов и папок в папки и диски^[1]. Строение Википедии моделируется ориентированным графом, в котором статьи — вершины графа, а гиперссылки — дуги (тематическая карта).

Графы являются основным объектом изучения теории графов.

Моделируемые графами системы реальной природы обладают большим разнообразием, поэтому существуют графы различных типов. Простейшей абстракцией систем с элементами, обладающими парными связями, является простой граф.

Определение. Простой граф ${\displaystyle G(V,E)}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества ${\displaystyle V}$ и множества ${\displaystyle E}$ неупорядоченных пар различных элементов множества ${\displaystyle V}$ . Множество ${\displaystyle V}$ называется множеством вершин, множество ${\displaystyle E}$ называется множеством рёбер

${\displaystyle G(V,E)=\left\langle V,E\right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad E\subseteq V\times V,\quad \left\{v,v\right\}\notin E,\quad v\in V}$,

то есть множество ${\displaystyle E}$ состоит из 2-элементных подмножеств множества ${\displaystyle V}$.

Сопутствующие термины

Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. Поэтому в некоторых публикациях могут использоваться термины, отличные от приведенных ниже.

• Вершина (узел, точка) (англ.  vertex, node, point) графа ${\displaystyle G}$ есть элемент множества вершин ${\displaystyle v\in V(G)}$;
• Ребро (линия) (англ.  edge, line) графа ${\displaystyle G}$ есть элемент множества ребер ${\displaystyle e\in E(G)}$, или ${\displaystyle e=\left\{v_{1},v_{2}\right\}}$, где ${\displaystyle v_{1}\in V(G),\quad v_{2}\in V(G)}$;
• Элементами графа ${\displaystyle G}$ называются его вершины ${\displaystyle v\in V(G)}$ и рёбра ${\displaystyle e\in E(G)}$ графа;
• Порядок (англ.  order) графа ${\displaystyle G}$ есть кардинальное число множества вершин ${\displaystyle n=|V(G)|}$ или, другими словами, количество вершин;
• Размер (англ.  size) графа ${\displaystyle G}$ есть кардинальное число множества ребер ${\displaystyle m=|E(G)|}$ или, другими словами, количество ребер;
• Вершина ${\displaystyle v}$ инцидентна (англ. incident) ребру ${\displaystyle e}$, если ${\displaystyle v\in e}$; тогда еще говорят, что ${\displaystyle e}$ есть ребро при ${\displaystyle v}$;
• Концевые вершины (концы) (англ. endvertices, ends) есть две вершины, инцидентные ребру. Ребро соединяет (англ. joins) свои концевые вершины;
• Соседние (смежные) вершины (англ. neighbours, adjacent) есть такие вершины ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ что ${\displaystyle \left\{v_{1},v_{2}\right\}\in E(G)}$ или, другими, словами обе вершины являются концевыми для одного ребра;
• Смежные ребра (англ. adjacent edges) это ребра, инцидентные одной вершине или ${\displaystyle e_{1}=\left\{v,v_{1}\right\}}$ и ${\displaystyle e_{2}=\left\{v,v_{2}\right\}}$ - смежные;
• Степень (валентность) вершины (англ. degree, valency) ${\displaystyle \operatorname {\mathit {d}} \left(v\right)}$ есть количество инцидентных ей рёбер.
• Изолированной вершиной (англ. isolated) называется вершина со степенью ${\displaystyle d(v)=0}$ , то есть не является концом ни для одного ребра;
• Висячей вершиной (листом) (англ. leaf) называется вершина со степенью ${\displaystyle d(v)=1}$, то есть которая является концом ровно одного ребра.

Обычно граф изображают диаграммой: вершины – точками, ребра – линиями.

Псевдограф ${\displaystyle G(V,E)}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества ${\displaystyle V}$ и множества ${\displaystyle E}$ неупорядоченных пар элементов множества ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle G(V,E)=\left\langle V,E\right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad E\subseteq V\times V}$

В множестве ребер псевдографа разрешен элемент ${\displaystyle \left\{v,v\right\}\in E(G)}$.

• Петлёй (англ. loop) называется элемент ${\displaystyle e=\left\{v,v\right\}}$, являющийся ребром, у которого концевые вершины совпадают.

Другими словами, если элементами множества E могут быть петли, то граф называется псевдографом ^[2].

Мультиграф ${\displaystyle G(V,\mathbf {E} )}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества ${\displaystyle V}$ и мультимножества ${\displaystyle \mathbf {E} }$ неупорядоченных пар различных элементов множества ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle G(V,\mathbf {E} )=\left\langle V,\mathbf {E} \right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad \mathbf {E} \subseteq V\times V\quad \left\{v,v\right\}\notin \mathbf {E} ,\quad v\in V}$

• Кратными рёбрами называются одинаковые элементы мультимножества ${\displaystyle \left\{e,e,\dots ,e\right\}\in \mathbf {E} }$, то есть ребра, чьи концевые вершины совпадают.

Другими словами Если ${\displaystyle E}$ не множество, а семейство, то есть если ${\displaystyle \mathbf {E} }$ содержит одинаковые элементы, то такие элементы называются кратными рёбрами, а граф называется мультиграфом ^[2].

Псевдомультиграф ${\displaystyle G(V,\mathbf {E} )}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества ${\displaystyle V}$ и мультимножества ${\displaystyle \mathbf {E} }$ неупорядоченных пар элементов множества ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle G(V,\mathbf {E} )=\left\langle V,\mathbf {E} \right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad \mathbf {E} \subseteq V\times V}$

Другими словами, если ${\displaystyle \mathbf {E} }$ – семейство, содержащее одинаковые элементы (кратные ребра), и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ может содержать петли, то граф называется псевдомультиграфом^[2].

Ориентированный граф (орграф) (англ.  directed graph or dirgaph) ${\displaystyle G(V,E)}$ есть совокупность двух множеств – непустого множества ${\displaystyle V}$ и множества ${\displaystyle E}$ дуг или упорядоченных пар различных элементов множества ${\displaystyle V}$

${\displaystyle G(V,E)=\left\langle V,E\right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad \left\langle \left\{v_{1},v_{2}\right\},\prec \right\rangle \in E,\quad v\in V}$.

совместно с двумя отображениями

${\displaystyle init:E\rightarrow V,\quad ter:E\rightarrow V}$,

где отображение ${\displaystyle init:E\rightarrow V}$ ставит в соответствие каждой дуге ее начальную вершину (начало дуги) ${\displaystyle init(e)}$, а отображение ${\displaystyle ter:E\rightarrow V}$ ставит в соответствие каждой дуге ее конечную вершину (конец дуги) ${\displaystyle ter(e)}$. Говорят что дуга ${\displaystyle e}$ ведет из ${\displaystyle init(e)}$ в ${\displaystyle ter(e)}$

Смешанный граф (англ. Mixed graph) ${\displaystyle G(V,E,U)}$ — это совокупность трех множеств – непустого множества вершин ${\displaystyle V}$, и множества дуг ${\displaystyle E}$ или упорядоченных пар различных элементов множества ${\displaystyle V}$ и множества ребер ${\displaystyle U}$ неупорядоченных пар различных элементов множества ${\displaystyle V}$

${\displaystyle G(V,E,U)=\left\langle V,E,U\right\rangle ,\quad V\neq \varnothing ,\quad \left\langle \left\{v_{1},v_{2}\right\},\prec \right\rangle \in E,\quad \left\{v_{3},v_{4}\right\}\in U,\quad v\in V}$.

совместно с двумя отображениями

${\displaystyle init:E\rightarrow V,\quad ter:E\rightarrow V}$

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Граф ${\displaystyle G}$ называется изоморфным графу ${\displaystyle H}$, если существует биекция ${\displaystyle f}$ из множества вершин графа ${\displaystyle G}$ в множество вершин графа ${\displaystyle H}$, обладающая следующим свойством: если в графе ${\displaystyle G}$ есть ребро из вершины ${\displaystyle A}$ в вершину ${\displaystyle B}$, то в графе ${\displaystyle H}$ должно быть ребро из вершины ${\displaystyle f(A)}$ в вершину ${\displaystyle f(B)}$ и наоборот — если в графе ${\displaystyle H}$ есть ребро из вершины ${\displaystyle A}$ в вершину ${\displaystyle B}$, то в графе ${\displaystyle G}$ должно быть ребро из вершины ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ в вершину ${\displaystyle f^{-1}(B)}$. В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Маршрутом в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром. Цепью называется маршрут без повторяющихся рёбер. Простой цепью называется маршрут без повторяющихся вершин (откуда следует, что в простой цепи нет повторяющихся рёбер).

Ориентированным маршрутом (или путём) в орграфе называют конечную последовательность вершин и дуг, в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему.

Циклом называют цепь, в которой первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность ${\displaystyle (u,v,u)}$ является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если рёбра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются (за исключением начальной и конечной в случае цикла).

Простейшие свойства путей и циклов:

• всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины;
• всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл;
• всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро);
• петля — элементарный цикл.

Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle v}$», является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа. Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.

Всякий максимальный связный подграф графа ${\displaystyle G}$ называется связной компонентой (или просто компонентой) графа ${\displaystyle G}$. Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов.

Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Граф называется:

• связным, если для любых вершин ${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$ есть путь из ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle v}$.
• сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
• деревом, если он связный и не содержит нетривиальных циклов.
• полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
• двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ так, что всякое ребро соединяет вершину из ${\displaystyle V_{1}}$ с вершиной из ${\displaystyle V_{2}}$.
• k-дольным, если его вершины можно разбить на ${\displaystyle k}$ непересекающихся подмножеств ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$, …, ${\displaystyle V_{k}}$ так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
• полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
• планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
• взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.
• хордальным, если граф не содержит индуцированных циклов с длиной больше трёх.

Также бывает:

• k-раскрашиваемым
• k-хроматическим

Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.

Более абстрактно, граф можно задать как тройку ${\displaystyle (V,E,\varphi )}$, где ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle E}$ — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.), а ${\displaystyle \varphi }$ — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребру ${\displaystyle e\in E}$ (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle V}$ (его концов). Частными случаями этого понятия являются:

• эйлеровы графы — граф, в котором существует циклический эйлеров путь (эйлеров цикл);

Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Это наиболее удобный способ представления плотных графов.

Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.

• Двумерный массив;
• Матрица с пропусками;
• Неявное задание (при помощи функции).

Таблица, где строки соответствуют вершинам графа, а столбцы соответствуют связям (рёбрам) графа. В ячейку матрицы на пересечении строки ${\displaystyle i}$ со столбцом ${\displaystyle j}$ записывается:

1

в случае, если связь ${\displaystyle j}$ «выходит» из вершины ${\displaystyle i}$,

−1,

если связь «входит» в вершину,

0

во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)

Данный способ является довольно ёмким (размер пропорционален ${\displaystyle |V||E|}$) для хранения, поэтому применяется очень редко, в особых случаях (например, для быстрого нахождения циклов в графе).

Список, где каждой вершине графа соответствует строка, в которой хранится список смежных вершин. Такая структура данных не является таблицей в обычном понимании, а представляет собой «список списков».

Размер занимаемой памяти: ${\displaystyle O(|V|+|E|)}$.

Это наиболее удобный способ для представления разреженных графов, а также при реализации базовых алгоритмов обхода графа в ширину или глубину, где нужно быстро получать «соседей» текущей просматриваемой вершины.

Список, где каждому ребру графа соответствует строка, в которой хранятся две вершины, инцидентные ребру.

Размер занимаемой памяти: ${\displaystyle O(|E|)}$.

Это наиболее компактный способ представления графов, поэтому часто применяется для внешнего хранения или обмена данными.

Для описания графов, пригодного для машинной обработки и одновременно удобного для человеческого восприятия, используется несколько стандартизированных языков, среди которых:

• DOT
• GraphML
• Trivial Graph Format
• GML
• GXL
• XGMML
• DGML

Разработана серия коммерческих программ для построения графов, так, построение графов лежит в основе прикладных программных пакетов фирмы ILOG (с 2009 года принадлежит корпорации IBM), среди других программ — GoView, Lassalle AddFlow, LEDA (есть бесплатная редакция).

Также существует свободная программа для построения графов igraph и свободная библиотека Boost.

Для визуализации графов применяются следующие программные средства:

• Graphviz (Eclipse Public License)
• LION Graph Visualizer.
• Графоанализатор — русскоязычная программа, с простым пользовательским интерфейсом (GNU LGPL; только для Windows).
• Gephi — графическая оболочка для представления и изучения графов (GNU GPL, CDDL).
• GRIN — русскоязычная программа для представления и изучения графов (freeware)
• Библиотека GraphX — свободная библиотека для .NET для расчёта и отрисовки графов, использует WPF 4.0.
• Библиотека MSAGL — свободная библиотека для .NET^[3].

• Прямое произведение графов
• Граф (тип данных)^[англ.]*

• Буркатовския Ю. Б. Теория графов. — Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2014. — Т. 1. — 200 с.
• Дистель Р. Теория графов. — Новосибирск: Издательство Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002. — 336 с. — ISBN 5-86134-101-Х.
• Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
• Касьянов В. Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — С. 1104. — ISBN 5-94157-184-4.
• Кирсанов М. Н. Графы в Maple. — М.: Физматлит, 2007. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-0745-7.
• Кормен Т. М. и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
• Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 336 с.
• Графы // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 86-88. — 352 с.
• Салий В. Н., Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9.
• Уилсон Р. Введение в теорию графов. — М.: Мир, 1977. — 208 с.
• Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.