Группа Баумслага — Солитера

Группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и одним соотношением

${\displaystyle ab^{m}a^{-1}=b^{n}.}$

Обычно, эта группа обычно обозначается ${\displaystyle BS(m,n)}$.

• ${\displaystyle BS(1,1)}$ это свободная абелева группа с двумя образующими,
• ${\displaystyle BS(1,-1)}$ фундаментальная группа бутылки Клейна
• ${\displaystyle BS(1,n)}$ при ${\displaystyle n>1}$ изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями ${\displaystyle a:x\to nx}$ и ${\displaystyle b:x\to x+1}$.
• Группа ${\displaystyle BS(2,3)}$ (наряду с остальными группами ${\displaystyle BS(m,n)}$, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы^[1]. А именно, эпиморфизм ${\displaystyle \varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}}$ не является автоморфизмом ${\displaystyle BS(2,3)}$.
• Группа ${\displaystyle BS(n,m)}$ допускает линейное представление ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}$ and ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}$.
  • Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
• Группа ${\displaystyle BS(m,n)}$ остаточно конечна тогда и только тогда когда ${\displaystyle |m|=1}$, ${\displaystyle |n|=1}$, или ${\displaystyle |m|=|n|}$^[2]

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Архивная копия от 26 июня 2010 на Wayback Machine», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Архивная копия от 29 ноября 2015 на Wayback Machine, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR: 0142635