Группа Вейля

Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли, алгебры Ли или других алгебраических объектов.

Названа в честь Германа Вейля.

• Гиперплоскости, ортогональные корням корневой системы, режут Евклидово пространство на конечное число открытых областей, называемых камерами Вейля.
• Для группы Ли ${\displaystyle G}$, удовлетворяющей определенным условиям (например, для связной компактной группы), и произвольного тора ${\displaystyle T<G}$ (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор нормализатора тора ${\displaystyle N(T)}$ по его централизатору ${\displaystyle Z(T)}$,

  ${\displaystyle W(T,G)=N(T)/Z(T).}$

Группа ${\displaystyle W(T,G)}$ конечна, поскольку '${\displaystyle Z(T)}$ имеет конечный индекс в ${\displaystyle N(T)}$.

• При этом, если ${\displaystyle T=T_{0}}$ — максимальный тор (и значит ${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$), то полученная факторгруппа ${\displaystyle W(T_{0},G)=N(T_{0})/Z(T_{0})}$ называется группой Вейля ${\displaystyle G}$, и обозначается ${\displaystyle W(G)}$.

• Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального тора, все полученные таким образом группы изоморфны.
• Если ${\displaystyle G}$ - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.

• Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и транзитивное.
  • В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.

• Группы Вейля являются конечными группами Коксетера. Это позволяет им быть классифицированными диаграммами Кокстера — Дынкина.

• Группа Вейля алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ является симметрической группой на n элементах, ${\displaystyle S_{n}}$. Её действие можно описать следующим образом. Если ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то ${\displaystyle S_{n}}$ действует на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ перестановкой диагональных элементов перестановки матриц. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\ast }}$, которое собственно и является действием группы Вейля.

• Для общей линейной группы GL максимальный тор образован подгруппой D обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы D является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа матриц перестановок, но с любыми ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является симметрической группой. В этом случае отображение N → N/T расщепляется, поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе G.
  • В общем это не всегда так – частное не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда полупрямое произведение и группа Вейля не всегда реализуется как подгруппа G.

• Группа комплексных отражений

• Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — 1972.