Группа Матьё

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M11[англ.], M12[англ.], M22[англ.], M23[англ.] и M24[англ.], введённые Эмилем Леонардом Матьё[1][2]. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Иногда используются обозначения M9, M10, M20 и M21 для связанных групп (которые действуют на множествах с 9, 10, 20 и 21 точками, соответственно), а именно стабилизаторы точек в бо́льших группах. Хотя они не являются спорадическими простыми группами, они являются подгруппами бо́льших групп и могут быть использованы для их построения. Джон Конвей показал, что можно продолжить эту последовательность, получая группоид Матьё[англ.] M13, действующий на 13 точек. M21 является простой, но не спорадической группой, будучи изоморфной PSL(3,4).

История

Матьё[3] ввёл группу M12 как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и коротко упомянул (на стр. 274) группу M24, указав её порядок. В статье 1873 года[2] он привёл дополнительные детали, включая явные порождающие множества для этих групп, но группу нелегко увидеть из его аргументов, что сгенерированные группы не просто знакопеременные группы и несколько лет существование групп было под сомнением. Миллер[4] даже опубликовал статью с ошибочным доказательством, что M24 не существует, хотя вскоре после этого в статье 1900 года[5] он признал, что доказательство имело ошибки, и дал доказательство, что группы Матьё просты. Витт[6][7], наконец, прекратил сомнения о существовании этих групп путём построения их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также как группы автоморфизмов систем Штейнера.

После групп Матьё не было обнаружено новых спорадических групп до 1965, когда была открыта группа J1[англ.].

Кратно транзитивные группы

Матьё был заинтересован в нахождении кратно транзитивных групп перестановок. Для натурального числа k, группа перестановок G, действующая на n точек, является k-транзитивной, если при задании двух множеств точек a1, … ak и b1, … bk со свойством, что все ai различны и все bi различны, существует элемент g группы G, который отображает ai в bi для всех i от 1 до k. Такая группа называется остро k-транзитивной, если элемент g единственен (то есть действие на k-кортежи регулярно (строго транзитивно), а не просто транзитивно).

Группа M24 5-транзитивна, а группа M12 — остро 5-транзитивна. Другие группы Матьё (простые и не простые), будучи подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, имеют более низкую транзитивность (M23 4-транзитивна, и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы Sk для k не меньшего 4, знакопеременные группы Ak для k, равного 6 и выше, и группы Матьё M24[англ.], M23[англ.], M12[англ.] и M11[англ.][8].

Классическим результатом является результат Жордана, что только симметрическая и знакопеременные группы (степеней k и k + 2 соответственно), а также M12 и M11 являются остро k-транзитивными группами перестановок для k не меньшего 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы[англ.] и группы Цассенхауса[англ.]. Группы Цассенхауса, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL(2,Fq), которая является остро 3-транзитивной (см. Двойное отношение) на элементах.

Таблица порядков и транзитивности

Группа Порядок Порядок (произведение) Разложение порядка Транзитивность Простая Спорадическая
M24244823040 3•16•20•21•22•23•24 210•33•5•7•11•23 5-транзитивная да спорадическая
M2310200960 3•16•20•21•22•23 27•32•5•7•11•23 4-транзитивная да спорадическая
M22443520 3•16•20•21•22 27•32•5•7•11 3-транзитивная да спорадическая
M2120160 3•16•20•21 26•32•5•7 2-транзитивная да ≈ PSL3(4)
M20960 3•16•20 26•3•5 1-транзитивная нет
M1295040 8•9•10•11•12 26•33•5•11 остро 5-транзитивная да спорадическая
M117920 8•9•10•11 24•32•5•11 остро 4-транзитивная да спорадическая
M10720 8•9•10 24•32•5 sостро 3-транзитивная почтиM10' ≈ Alt6
M972 8•9 23•32остро 2-транзитивная нет ≈ PSU3(2)[англ.]
M88 8 23остро 1-транзитивная (регулярна) нет ≈ Q

Построение групп Матьё

Группы Матьё можно построить разными способами.

Группы перестановок

M12 имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL2(F11) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M12, переводит элемент x группы F11 в , как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному из членов бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M11 является стабилизатором точки в M12 и тоже оказывается спорадической простой группой. M10, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A6. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом[англ.] группы A6. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой[англ.] PSU(3,22), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M24 имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL2(F23). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M24, переводит элемент x группы F23 в . Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M23 и M22 также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL3(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом[9]. Диксон и Мортимер[10] приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует с точностью до[англ.] эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W24 (схема Витта). Группа M24 является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M23 и M22 определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W12, а группа M12 является её группой автоморфизмов. Подгруппа M11 является стабилизатором точки.

W12 можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F3×F3, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W12 — «котёнок» Кёртиса[11].

Введение в построение W24 с помощью чудесного генератора октад[англ.] Р. Т. Кёртиса и аналога для W12 (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Группы автоморфизмов кодов Голея

Группа M24 является группой автоморфизмов перестановок[англ.] расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M12 имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M12:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M24. M12 является стабилизатором кода из 12 единиц. M12:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея, поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис[англ.] ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матьё как первое поколение.

Dessins d’enfants

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants[англ.] (фр: детский рисунок)[12], а рисунок, ассоциированный с M12, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё)[13].

Примечания

  1. ↑ Mathieu, 1861.
  2. ↑ 1 2 Mathieu, 1873.
  3. ↑ Mathieu, 1861, с. 271.
  4. ↑ Miller, 1898.
  5. ↑ Miller, 1900.
  6. ↑ Witt, 1938a.
  7. ↑ Witt, 1938b.
  8. ↑ Cameron, 1999, с. 110.
  9. ↑ Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
  10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
  11. ↑ Curtis, 1984.
  12. ↑ Буквально — детский рисунок (фр.). Термин предложил Гротендик для одного из видов вложения графов.
  13. ↑ le Bruyn, 2007.

Литература

  • Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
  • Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-65378-7.
  • Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальный год издания: 1937
  • C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Май (т. 167). — С. 1–27. — doi:10.2307/1996123. — JSTOR 1996123.
  • C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24 // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Май (т. 167). — С. 29–47. — doi:10.2307/1996124. — JSTOR 1996124.
  • John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, pp. 267–298
  • John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
  • John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
  • Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — doi:10.1017/S0305004100052075.
  • Curtis R. T. (1977), "The maximal subgroups of M₂₄", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 81, pp. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926 {{citation}}: Неизвестный параметр |выпуск= игнорируется ()
  • Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982. / Michael D. Atkinson. — Boston, MA: Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
  • Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
  • John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94599-6. — doi:10.1007/978-1-4612-0731-3.
  • Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9.
  • Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
  • Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
  • Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46. (недоступная ссылка) Язык: Французский
  • Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
  • Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
  • Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
  • Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
  • Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — doi:10.1007/BF02948948.
  • Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — doi:10.1007/BF02948947.
  • Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архивировано 1 мая 2010 года.

Ссылки