Группа Ри
Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри[1][2] из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает группы Судзуки[англ.], которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах конечных простых групп[англ.].
В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы, определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы[англ.] над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.
Титс[3] определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. Титс[4] и Хи[5] ввели группы Ри бесконечномерных обобщённых алгебр Каца-Муди[англ.].
Построение
Если X является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие X, в частности, дающие группы X(F) со значениями в поле F. Эти группы имеют следующие автоморфизмы:
- Любой автоморфизм поля F порождает эндоморфизм группы X(F)
- Любой автоморфизм диаграммы Дынкина порождает автоморфизм группы X(F).
Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля F. Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы F, в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.
Над полями характеристики 2 группы B2(F) и F4(F) и над полями характеристики 3 группы G2(F) имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом , связанным с эндоморфизмом Фробениуса поля F. Грубо говоря, этот эндоморфизм приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.
Предположим, что поле F имеет эндоморфизм , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: . Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X(F), таких что . Если поле F совершенно, то и являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции на X(F).
В случае, когда F является конечным полем порядка pk (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B2(22n+1), F4(22n+1) и G2(32n+1), фиксированные по инволюции.
Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы Ри
Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма группы X(F), где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса . Возможны три случая
- Для групп Шевалле для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем.
- Для групп Штейнберга для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем.
- Для групп Ри, для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка pn с нечётным n и нет соответствующего поля порядка pn/2.
Группы Ри типа 2B2
Группы Ри типа 2B2 первым нашёл Судзуки[6], используя другой подход, и они обычно называются группами Судзуки[англ.]. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B2 при использовании варианта построения Стайнберга[7]. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F4 и G2, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.
Группы Ри типа 2G2
Группы Ри типа 2G2(32n+1) ввёл Ри[1], который показал, что они все просты, за исключением первой группы 2G2(3), которая изоморфна группе автоморфизмов SL2(8). Уилсон[8] дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 32n+1 элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.
Группа Ри имеет порядок , где
Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для 2G2(3).
Внешняя группа автоморфизмов[англ.] является циклической и имеет порядок .
Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или
Группа Ри имеет дважды транзитивное перестановочное представление[англ.] на точках и действует как автоморфизмы системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G2(q).
2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. Теорема Уолтера[англ.] показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и группами Янко J1[англ.]. Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z/2Z × PSL2(q) и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида Янко нашёл спорадическую группу J1. Клейдман[9] обнаружил их максимальные подгруппы.
Группы Ри типа 2G2 исключительно трудно описывать. Томпсон[10][11][12] изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм . Наконец, Бомбиери[13] использовал теорию исключения[англ.], чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера (Эндрю Одлыжко[англ.] и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна[14], который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар[15] дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.
Группы Ри типа 2F4
Группы Ри типа ввёл Ри[2]. Они являются простыми, за исключением первой , для которой Титс[16] показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. Уилсон[17] дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 22n+1, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.
Группа Ри имеет порядок где . Мультипликатор Шура тривиален. Группа внешних автоморфизмов[англ.] является циклической с порядком .
Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс[18] показал, что все многоугольники Муфанга[англ.] получаются из групп Ри типа .
См. также
- Список конечных простых групп[англ.]
Примечания
Литература
- Roger W. Carter. Simple groups of Lie type. — New York: John Wiley & Sons, 1989. — (Wiley Classics Library). — ISBN 978-0-471-50683-6.
- Enrico Bombieri. Thompson's problem (σ²=3) // Inventiones Mathematicae. — 1980. — Т. 58, вып. 1. — С. 77—100. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01402275.
- Michel Enguehard. Caractérisation des groupes de Ree // Astérisque. — 1986. — Вып. 142. — С. 49—139. — ISSN 0303-1179.
- Gorenstein D. The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis // American Mathematical Society. Bulletin. New Series. — 1979. — Т. 1, вып. 1. — С. 43—199. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8.
- Jean-Yves. Construction de groupes tordus en théorie de Kac-Moody // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. — 1990. — Т. 310, вып. 3. — С. 77—80. — ISSN 0764-4442.
- Peter B. Kleidman. The maximal subgroups of the Chevalley groups with q odd, the Ree groups , and their automorphism groups // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 117, вып. 1. — С. 30—71. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90239-6.
- Rimhak Ree. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2) (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1960. — Vol. 66. — P. 508—510. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1960-10523-X.
- Rimhak Ree. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F4) (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1961. — Vol. 67. — P. 115—116. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2.
- Robert Steinberg. Variations on a theme of Chevalley // Pacific Journal of Mathematics. — 1959. — Т. 9. — С. 875—891. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1959.9.875.
- Robert Steinberg. Lectures on Chevalley groups. — Yale University, New Haven, Conn., 1968. Архивная копия от 10 сентября 2012 на Wayback Machine
- Robert Steinberg. Endomorphisms of linear algebraic groups. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1968. — (Memoirs of the American Mathematical Society, No. 80).
- Michio Suzuki. A new type of simple groups of finite order // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1960. — Т. 46. — С. 868—870. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.46.6.868. — PMID 16590684. — . — PMC 222949.
- John G. Thompson. Toward a characterization of E2*(q) // Journal of Algebra. — 1967. — Т. 7. — С. 406—414. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(67)90080-4.
- John G. Thompson. Toward a characterization of E2*(q) . II // Journal of Algebra. — 1972. — Т. 20. — С. 610—621. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(72)90074-9.
- John G. Thompson. Toward a characterization of E2*(q) . III // Journal of Algebra. — 1977. — Т. 49, вып. 1. — С. 162—166. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(77)90276-9.
- Jacques Tits. Séminaire Bourbaki, Vol. 6. — Paris: Société Mathématique de France, 1960. — С. 65—82.
- Jacques Tits. Algebraic and abstract simple groups // Annals of Mathematics. — 1964. — Т. 80. — С. 313—329. — ISSN 0003-486X. — .
- Jacques Tits. Moufang octagons and the Ree groups of type ²F₄ // American Journal of Mathematics. — 1983. — Т. 105, вып. 2. — С. 539—594. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2374268.
- Jacques Tits. Groupes associés aux algèbres de Kac-Moody // Astérisque. — 1989. — Вып. 177. — С. 7—31. — ISSN 0303-1179.
- Robert A. Wilson. Another new approach to the small Ree groups // Archiv der Mathematik. — 2010. — Т. 94, вып. 6. — С. 501—510. — ISSN 0003-9268. — doi:10.1007/s00013-010-0130-4.
- Robert A. Wilson. A simple construction of the Ree groups of type ²F₄ // Journal of Algebra. — 2010b. — Т. 323, вып. 5. — С. 1468—1481. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/j.jalgebra.2009.11.015.
Ссылки
- ATLAS: Ree group R(27) Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine