Группа Фробениуса

Группа Фробениуса, или фробениусова группа — транзитивная группа перестановок на конечном множестве, такая, что каждый нетривиальный элемент фиксирует не более одной точки, и некоторый нетривиальный элемент фиксирует точку.

Названы в честь Ф. Г. Фробениуса.

Пусть G — группа Фробениуса, состоящая из перестановок множества X.

• Подгруппа H в G, фиксирующая точку, называется дополнением Фробениуса.

• Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в одну сопряжённую с H подгруппу, образуют нормальную подгруппу K, называемую ядром Фробениуса.

• Группа Фробениуса G является полупрямым произведением ядра K и дополнения H:

  ${\displaystyle G=K\rtimes H}$.

• Ядро Фробениуса является нильпотентной группой.

• Если дополнение H имеет чётный порядок, то ядро K абелево.

• Каждая подгруппа дополнения, порядок которой равен произведению 2 простых чисел, является циклической.
  • Это означает, что её силовские подгруппы являются циклическими или обобщенными группами кватернионов.

• Любая группа, такая, что все подгруппы Силова циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой. Это означает, что она является расширением двух циклических групп.

• Если дополнение H неразрешимо, то оно имеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка 30.
  • В частности, если дополнение Фробениуса совпадает с его производной подгруппой, то оно изоморфно SL(2,5).

• Если дополнение разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу, факторгруппа по которой является подгруппой симметрической группы ${\displaystyle S_{4}}$.

• Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором неединичные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых фиксированных точек.

• Самый маленький пример — симметрическая группа ${\displaystyle S_{3}}$, состоящая из 6 элементов. Ядро Фробениуса имеет порядок 3, а дополнение порядок 2.
• Для каждого конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ с ${\displaystyle q>2}$ элементами группа обратимых аффинных преобразований, естественно действующих на ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, является группой Фробениуса.
  • Предыдущий пример соответствует случаю ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ — полю с тремя элементами.
• Группа симметрий плоскости Фано, действующая на множестве её флагов, фробениусова.
• Диэдральная группа порядка 2n с нечётным n — фробениусова с дополнением порядка 2.
  • Вообще, если K — любая абелева группа нечетного порядка, а H имеет порядок 2 и действует на K путем инверсии, то полупрямое произведение K.H является группой Фробениуса.
• Многие другие примеры могут быть сгенерированы с помощью следующих конструкций.
  • Если заменить дополнение Фробениуса группы Фробениуса нетривиальной подгруппой, мы получим другую группу Фробениуса.
  • Если имеются две группы Фробениуса ${\displaystyle K_{1}.H}$ и ${\displaystyle K_{2}.H}$, то ${\displaystyle (K_{1}\times K_{2}).H}$ также фробениусова.
• Если K — неабелева группа порядка 7³ с экспонентой 7, а H — циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса G, которая является расширением K.H. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (построен Отто Шмидтом).
• Если H — группа SL(2,5) порядка 120, она свободно действует на 2-мерное векторное пространство K над полем с 11 элементами. Расширение K.H является наименьшим примером неразрешимой группы Фробениуса.
• Подгруппа группы Зассенхауса, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.

Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса G могут быть считаны из представлений H и K. Существует два типа неприводимых представлений G:

• Любое неприводимое представление R группы H даёт неприводимое представление G с использованием факторотображения из G в H (то есть как ограниченное представление). Они дают неприводимые представления G с подгруппой K, содержащейся в их ядре.
• Если S — любое нетривиальное неприводимое представление K, то соответствующее индуцированное представление G также неприводимо. Они дают неприводимые представления G с подгруппой K, отсутствующей в их ядре.

Существует ряд свойств, формулируемых в терминах теории групп, которые интересны сами по себе, но ещё и оказываются эквивалентными существованию у группы представления перестановками, которое делает её фробениусовой.

• G является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда G имеет нетривиальную собственную подгруппу H, такую, что ${\displaystyle H\cap H^{g}}$ — тривиальная подгруппа для любого g ∈ G − H.

Предполагая, что ${\displaystyle G=K\rtimes H}$ — полупрямое произведение нормальной подгруппы K и дополнения H, следующие ограничения на централизаторы эквивалентны тому, что G является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса H:

• Централизатор ${\displaystyle C_{G}(k)}$ является подгруппой K для любого неединичного элемента ${\displaystyle k\in K}$.
• ${\displaystyle C_{H}(k)=1}$ для любого неединичного элемента ${\displaystyle k\in K}$.
• ${\displaystyle C_{G}(h)\leq H}$ для любого неединичного элемента ${\displaystyle h\in H}$.

• B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, AMS Chelsea 1976
• D. S. Passman, Permutation groups, Benjamin 1968