Группа автоморфизмов свободной группы

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Группа автоморфизмов свободной группы — группа, образованная всеми групповыми автоморфизмами некоторой свободной группы конечного ранга относительно операции композиции. Является одним из центральных объектов изучения комбинаторной теории групп и обозначается символом .

Преобразования Нильсена

Пусть  — свободная группа с базисом . Элементарными преобразованиями Нильсена называются автоморфизмы группы следующих типов:

  • обмен некоторой пары образующих и местами;
  • замена одной из образующих на обратную ;
  • замена одной из образующих на произведение , где .

Данные автоморфизмы порождают группу [1].

Роль в теории кос

Автоморфизм свободной группы называется сплета́ющим (или косо́вым), если он удовлетворяет следующим условиям:

  • найдется такая биекция , что для всех элемент сопряжен в с элементом ;
  • .

Множество всех сплетающих автоморфизмов группы является подгруппой группы всех автоморфизмов:

Определим серию обратных друг к другу сплетающих автоморфизмов и правилом

Гомоморфизм из группы кос в группу сплетающих автоморфизмов, заданный на образующих Артина правилом , является изоморфизмом[2].

Примечания

Литература

  • Магнус, В, Каррас, А, Солитэр, Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений = Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations / пер. с англ. Д. И. Молдаванского. — М.: Наука, 1974. — 456 с.
  • Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.