Группа бордюра

Группа бордюра — это математическое понятие, используемое для классификации согласно симметриям узоров на двумерных поверхностях, повторяющихся в одном направлении. Такие узоры встречаются часто в архитектуре и декоративном искусстве. Математическое изучение таких узоров показывает, что существует в точности семь типов симметрии.

Группы бордюра являются двумерными группами линейного сдвига^[англ.], имеющими повторение лишь в одном направлении. Они связаны с более сложными группами орнамента, которые классифицируют узоры, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографическими группами, которые классифицируют узоры, повторяющиеся в трёх направлениях.

Общее описание

Семь групп бордюров
p1: T (только параллельный перенос в горизонтальном направлении) p1m1: TV (параллельный перенос с симметрией относительно вертикальной оси) p11m: THG (параллельный перенос, симметрия относительно горизонтальной оси и скользящая симметрия) p11g: TG (параллельный перенос и скользящая симметрия) p2: TR (параллельный перенос и поворот на $180^{\circ }$ ) p2mg: TRVG (параллельный перенос и поворот на $180^{\circ }$ , симметрия относительно вертикальной оси и скользящая симметрия) p2mm: TRHVG (параллельный перенос, поворот на $180^{\circ }$ , симметрия относительно горизонтальной оси, симметрия относительно вертикальной оси и скользящая симметрия)

Формально, группа бордюра — это класс бесконечных дискретных групп симметрии узоров на ленте (бесконечно широком прямоугольнике), а следовательно, это класс групп движений на плоскости или ленте. Группа симметрии группы бордюра необходимым образом содержит параллельные переносы и могут содержать скользящие симметрии, отражения вдоль оси ленты, отражения поперёк оси ленты и вращения на $180^{\circ }$ . Существует семь групп бордюра, они показаны ниже в таблице. Многие авторы перечисляют группы бордюра в другом порядке^[1]^[2].

Фактические группы симметрии внутри группы бордюра характеризуются наименьшим расстоянием параллельного переноса и, для групп бордюра с вертикальной симметрией или поворотом на $180^{\circ }$ (группы 2, 5, 6 и 7), местоположением оси симметрии или центра поворота. В случае групп симметрии на плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора переноса и, для групп бордюра с горизонтальной осью симметрии, скользящая симметрия, или поворот на $180^{\circ }$ (группы 3-7), положение оси отражения или центра вращения. Таким образом, имеется две степени свободы для группы 1, три для групп 2, 3, 4 и четыре для групп 5, 6 и 7.

Для двух из семи групп бордюра (группы 1 и 4) группы симметрии порождаются одним элементом, для четырёх групп (группы 2, 3, 5 и 6) они порождаются двумя генераторами, а для группы 7 группы симметрии требуют три генератора. Группа симметрии в группах бордюров 1, 2, 3 или 5 является подгруппой группы симметрии последней группы бордюра с тем же расстоянием параллельного переноса. Группа симметрии в группах бордюра 4 и 6 является подгруппой группы симметрии последней группы бордюра с половинным расстоянием параллельного переноса. Последняя группа обоев содержит группу симметрии простейшего периодического узора на полосе (или плоскости) — последовательности точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее нетронутым этот узор, может быть разложено на параллельный перенос (x,y) → (n+x,y) и, возможно, отражение относительно горизонтальной оси (x,y) → (x,−y) или вертикальной оси (x,y) → (−x,y) в предположении, что оси выбраны посередине двух соседних точек, или вращение на угол $180^{\circ }$ , (x,y) → (−x,−y). Таким образом, группа бордюра содержит «наибольшую» группу симметрии, которая состоит из всех этих преобразований.

Требование дискретности вводится для исключения групп, содержащих все преобразования и групп, содержащих произвольно малые параллельные переносы (например, группы горизонтального переноса на любое рациональное расстояние).

Требование бесконечности вводится для исключения групп, не имеющих параллельного переноса:

группа только с из тождественным движением (изоморфна C₁, тривиальная группа порядка 1).
группа, состоящая из тождественного движения и отражения относительно горизонтальной оси (изоморфна C₂, циклическая группа порядка 2).
группы, состоящие из тождественного движения и отражения относительно вертикальной оси
группы, состоящие из тождественного движения и поворота на $180^{\circ }$ вокруг точки, находящейся на горизонтальной оси
группы, состоящие из тождественного движения и отражения относительно вертикальной оси, отражения относительно горизонтальной оси и поворота на $180^{\circ }$ вокруг точки пересечения этих осей (изоморфна четверной группе Клейна)

Описание семи групп бордюра

Существует семь различных подгрупп (с точностью до масштаба) в группе дискретных бордюров, генерируемых параллельным переносом, отражением (вдоль оси бордюра) и поворотом на $180^{\circ }$ . Каждая из этих подгрупп является группой симметрии бордюра и простые бордюры показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют семи бесконечным сериям групп осевой симметрии трёхмерного пространства, с $n=\infty$ ^[3].

Группы бордюра обозначаются с использованием нотации Германа — Могена, международной кристаллографической нотации^[4], орбифолдной нотаци^[англ.], нотации Коксетера^[англ.] и с помощью символов Шёнфлиса:

Группы бордюра
IUC	Кок- сетер	Шён- флис^* Группа	Диаграмма^§ Орбифолд	Примеры обозначение Конвея ^[5]	Описание
p1	[∞]⁺	C_∞ Z_∞	∞∞	F F F F F F F F hop (скакать на одной ноге)	(T) Только параллельный перенос: Эту группу создаёт один генератор, перенося на наименьшее расстояние для данного периодического узора.
p11g	[∞⁺,2⁺]	S_∞ Z_∞	∞×	FℲ FℲ FℲ FℲ FℲ step (шаг)	(TG) Скользящая симметрия и перенос: Эта группа создаётся одним генератором (скользящей симметрией), параллельный перенос получается как результат двух скользящих симметрий.
p1m1	[∞]	C_∞v Dih_∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ sidle (идти боком)	(TV) Отражение относительно вертикальной оси и перенос: Группа та же самая, что и нетривиальная группа одномерного случая. Группа строится с помощью параллельного переноса и отражения относительно вертикальной оси.
p2	[∞,2]⁺	D_∞ Dih_∞	22∞	S S S S S S S S spinning hop (скачки с поворотом)	(TR) Перенос и поворот на $180^{\circ }$ : Группа создаётся двумя генераторами — переносом и вращением на $180^{\circ }$ .
p2mg	[∞,2⁺]	D_∞d Dih_∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ spinning sidle (боковые скачки с поворотом)	(TRVG) Отражение относительно вертикальной оси, скользящая симметрия, перенос и поворот на $180^{\circ }$ : Параллельный перенос здесь получается как результат двух скользящих симметрий, так что группа генерируется скользящей симметрией и либо вращением, либо вертикальной симметрией.
p11m	[∞⁺,2]	C_∞h Z_∞×Dih₁	∞*	B B B B B B B B jump (прыжок)	(THG) Перенос, отражение относительно горизонтальной оси, скользящая симметрия: Эта группа генерируется переносом и отражением относительно горизонтальной оси. Скользящая симметрия получается как перенос + отражение.
p2mm	[∞,2]	D_∞h Dih_∞×Dih₁	*22∞	H H H H H H H H spinning jump (прыжок с поворотом)	(TRHVG) Отражения относительно вертикальной и горизонтальной осей, параллельный перенос и вращение на $180^{\circ }$ : Для этой группы нужны три генератора. Один из генерирующих наборов состоит из переноса и отражений относительно обоих осей.

^*Нотация Шёнфлиса для точечной группы здесь расширена для случая бесконечного набора эквивалентных диэдральных точечных симметрий

^§Диаграмма показывает одну фундаментальную область, выделенную жёлтым цветом. Оси отражения показаны синим цветом, оси скользящей симметрии показаны зелёным пунктиром, а точки вращения показаны зелёными квадратиками.

Как мы видим, с точностью до изоморфизма, существует четыре группы, две абелевы, и две неабелевы.

Типы решёток: наклонная и прямоугольная

Группы можно классифицировать по типу их двумерной решётки^[6]. Наклонная решётка означает, что второе направление не обязательно ортогонально направлению повторения.

Тип решётки	Группы
Наклонные	p1, p2
Прямоугольные	p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg

Веб-демонстрации и программное обеспечение

Существуют программные графические инструменты, создающие двумерные узоры с помощью групп бордюра. Обычно весь узор обновляется автоматически при редактировании фрагмента.

Kali Архивная копия от 29 ноября 2017 на Wayback Machine, Свободное приложение для обоев, бордюров и других узоров.
Kali Архивная копия от 21 ноября 2020 на Wayback Machine, свободно загружаемая программа Kali для Windows и Mac Classic.
Tess Архивная копия от 28 декабря 2017 на Wayback Machine, Программа (nagware) замощения для различных платформ, поддерживающая обои, бордюры, а также мозаик Хееша.
FriezingWorkz Архивная копия от 22 января 2007 на Wayback Machine, свободно распространяемый стек (приложение для Hypercard) для HyperCard для платформы Classic Mac, поддерживающий группы бордюра.

Примечания

↑ Coxeter, 1969, с. 47–49.
↑ Cederberg, 2001, с. 117–118, 165–171.
↑ Fisher, Mellor, 2007.
↑ Radaelli.
↑ Frieze Patterns Конвей дал имена согласно характеру следов.
↑ Hitzer, Ichikawa, 2008.

Литература

Coxeter H. S. M. Introduction to Geometry. — New York: John Wiley & Sons, 1969. — С. 47–49. — ISBN 0-471-50458-0.
Judith N. Cederberg. A Course in Modern Geometries, 2nd ed.. — New York: Springer-Verlag, 2001. — С. 117–118, 165–171. — ISBN 0-387-98972-2.
Fisher G.L., Mellor B. Three-dimensional finite point groups and the symmetry of beaded beads // Journal for Mathematics and the Arts. — 2007.
Paolo G. Radaelli. Fundamentals of Crystallographic Symmetry.
Hitzer E.S.M., Ichikawa D. Representation of crystallographic subperiodic groups by geometric algebra // Electronic Proc. of AGACSE. — Leipzig, Germany, 2008. — Вып. 3, 17–19 Aug. 2008.