Группа крашеных кос

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Центральная коса является крашеной

Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от англ. pure braid group) — группа, образованная для заданного всеми крашеными косами из нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос и обозначается символом .

Определение

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Произведение кос

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение двух крашеных кос и с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество всех крашеных кос из нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос[1][2].

Траектории движения точек на плоскости

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства упорядоченных наборов различных точек евклидовой плоскости[1][3]:

.

Автоморфизмы свободной группы

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с проколами[4][5]:

.

Задание образующими и соотношениями

Диаграммы образующих группы крашеных кос

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких и , что , пусть

.

Данные кос порождают группу крашеных кос [1][6]. Они называются стандартными образующими или образующими Маркова[7].

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями[6]:

где  — коммутатор элементов и .

Причёсанная нормальная форма

Причёсанный вид косы

Представление крашеной косы в виде

называется её причёсанным видом, если каждая коса имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме -ой, являются прямыми, а -ая зацепляется только за нити с меньшими номерами[8].

Запись косы , в которой каждая коса представлена в виде несократимого слова[англ.] в образующих , называется её причёсанной нормальной формой:

См. также

Примечания

Литература

  • Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
  • Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.

Ссылки