Двоично-рациональное число

Двоично-рациональные числа — рациональные числа, знаменатель которых представляет собой степень двойки. Иначе говоря, числа вида ${\tfrac {m}{2^{n}}}$ , где $m$ целое число, а $n$ натуральное. Например, 1/2 и 3/8 двоично-рациональны, а 1/3 нет. Именно эти числа имеют конечные представления в двоичной системе счисления.

Свойства

Двоично-рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, и умножения, но не деления.
- В частности, двоично-рациональные числа образуют подкольцо рациональных чисел.
Двоично-рациональные числа образуют всюду плотное множество на вещественной прямой.

Применение

Дюйм обычно подразделяется двоично-рациональными числами.
Древние египтяне использовали двоично-рациональные числа, со знаменателями до 64^[1].
Размер в Западной музыкальной нотации традиционно записывают двоично-рациональными числами (например: 2/2, 4/4, 6/8...).
- Другие варианты, так называемые «иррациональные» размеры были введены композиторами в XX веке, не соответствуют иррациональным числам, потому что они по-прежнему состоят из соотношений целых чисел. По-настоящему иррациональный размер используется редко, но один пример, ${\sqrt {42}}/1$ , появляется у Нанкарроу в «Этюдах для механического пианино»^[англ.].

В качестве типа данных, используемых компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки, и таким образом все числа, которые могут быть представлены, например, в формате IEEE с плавающей точкой являются двоично-рациональными.
- То же самое верно для большинства типов данных с фиксированной точкой.

См. также

Ссылки

↑ Curtis, Lorenzo J. (1978), "Concept of the exponential law prior to 1900", American Journal of Physics, 46 (9): 896—906, doi:10.1119/1.11512 {{citation}}: Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= ().

Похожие исследовательские статьи

Число́ — одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.

<span class="mw-page-title-main">Арифметика</span> раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства

Арифме́тика — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

<span class="mw-page-title-main">Сложение</span> математическая операция

Сложе́ние (прибавле́ние) — одна из основных бинарных математических операций двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов $\text{[math]}$ из множества $\text{[math]}$ ставится в соответствие элемент $\text{[math]}$ , называемый суммой $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики. Приоритет её в обычном порядке операций равен приоритету вычитания, но ниже, чем у возведения в степень, извлечения корня, умножения и деления. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «плюс»: $\text{[math]}$ .
Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов. Так, на картинке справа запись $\text{[math]}$ обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

Двои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

<span class="mw-page-title-main">Рациональное число</span> число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число

Рациона́льное число́ — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целое число, а $\text{[math]}$ — натуральное. Пример: $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ .

Иррациона́льное число́ — вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целые числа, $\text{[math]}$ . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

2 — число, цифра и глиф. Натуральное число между 1 и 3.

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями. Результат умножения называется их произведением.

Число с плавающей запятой — экспоненциальная форма представления вещественных (действительных) чисел, в которой число хранится в виде мантиссы и порядка. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Используемое наиболее часто представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.

IEEE 754 — широко используемый стандарт IEEE, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой. Используется в программных и аппаратных реализациях арифметических действий.

История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. Арифметика — наука о числах, их свойствах и отношениях — является одной из основных математических наук. Она тесно связана с алгеброй и теорией чисел.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Сюрреальные числа — обобщение обычных вещественных чисел и бесконечных порядковых чисел. Впервые были использованы в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $\text{[math]}$ с рациональными коэффициентами $\text{[math]}$ . В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Степень двойки — натуральное число, равное числу 2, умноженному на себя некоторое количество раз. 2ⁿ — обозначение.

Методы вычисления квадратных корней — это вычислительные алгоритмы для вычисления приближённых значений главных квадратных корней вещественного числа. Арифметически это означает, что если дано число $\text{[math]}$ , процедура находит число, которое при умножении на себя даёт $\text{[math]}$ . Алгебраически это означает процедуру нахождения неотрицательного корня уравнения $\text{[math]}$ . Геометрически это означает построение стороны квадрата с заданной площадью.

Алгоритм деления — это алгоритм, который для двух данных целых числа N и D вычисляет их частное и/или остаток, результат деления с остатком. Некоторые из алгоритмов предназначены для вычислений вручную, другие реализованы в цифровых схемах и программном обеспечении.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.