Двудольный граф
Двудо́льный граф или бигра́ф в теории графов — это граф, вершины которого можно разбить на две части так, что каждое ребро соединяет вершину из одной части с вершиной другой части. То есть, между вершинами одной и той же части рёбра отсутствуют.
Определение
Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части так, что:
- ни одна вершина в не соединена с вершинами в ;
- ни одна вершина в не соединена с вершинами в .
В этом случае, подмножества вершин и называются долями двудольного графа .
Связанные определения
Двудольный граф называется полным двудольным (это понятие отлично от полного графа; то есть, такого, в котором каждая пара вершин соединена ребром), если для каждой пары вершин существует ребро . Для
такой граф обозначается символом .
Примеры
Примеры двудольных графов:
- любое дерево является двудольным графом;
- любой простой цикл, состоящий из чётного числа вершин;
- любой планарный граф, у которого каждая грань ограничена чётным количеством ребер.
Двудольные графы естественно возникают при моделировании отношений между двумя различными классами объектов. К примеру граф футболистов и клубов: ребро соединяет соответствующего игрока и клуб, если игрок играл в этом клубе.
Двудольные графы используют для описания LDPC кодов.
Свойства
- Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины.
- В частности двудольный граф не может содержать клику размером более 2.
- Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-хроматический; то есть его хроматическое число равняется двум.
- Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые элементов одной из долей связаны по крайней мере с элементами другой (Теорема о свадьбах).
- Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.
- Любой двудольный граф является совершенным.
Проверка двудольности
Чтобы проверить граф на двудольность, в каждой компоненте связности нужно выбрать любую вершину и помечать остальные вершины при обходе графа (например, поиском в ширину) поочерёдно как четные и нечетные (см. иллюстрацию). Если конфликты не возникают, то четные вершины образуют множество , а нечётные — множество .
Применения
- Сети Петри
- Граф Леви
- Теория кодирования
- Factor graph[англ.]
- Граф Таннера
См. также
- Словарь терминов теории графов
- Биекция
- Многодольный граф
- Квазидвудольный граф
Ссылки
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Graph, bipartite", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Information System on Graph Classes and their Inclusions: bipartite graph
- Weisstein, Eric W. Bipartite Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Bipartite graphs in systems biology and medicine