Двустороннее преобразование Лапласа

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Двустороннее преобразование Лапласа — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина, а также с обычным и односторонним преобразованием Лапласа.

Определение

Если является вещественной или комплексной функцией действительной переменной , то двустороннее преобразование Лапласа задаётся формулой

Интеграл в этом определении подразумевается несобственным и сходящимся тогда, когда существуют

Иногда двусторонние преобразования записывают в виде

Вообще, переменная может быть как вещественной, так и комплексной величиной.

Связь с другими интегральными преобразованиями

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить обычное по формуле
И обратно: из двустороннего преобразования можно получить преобразование Меллина по формуле
  • Преобразование Фурье может быть определено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

Свойства

Свойства преобразований Лапласа
Временная область Односторонняя область Двусторонняя область
Первая производная
Вторая производная

Литература

  • LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
  • van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987

Примечания