Дедекиндова группа

Перейти к навигации Перейти к поиску

Дедекиндова группа — это группа, всякая подгруппа которой нормальна.

Гамильтонова группа — это неабелева дедекиндова группа.

Примеры

Всякая абелева группа является дедекиндовой.

Группа кватернионов — гамильтонова группа наименьшего порядка.

Норма всякой группы является дедекиндовой группой.

Всякая нильпотентная Т-группа является дедекиндовой.

Свойства

Всякая гамильтонова группа представима в виде прямого произведения вида G = Q₈ × B × D, где B — элементарная абелева 2-группа, а D — периодическая абелева группа, все элементы которой имеют нечетный порядок^[1]^[2].

Гамильтонова группа порядка 2^a содержит 2^{2a − 6} подгрупп, изоморфных группе кватернионов^[3].

Гамильтоновых групп порядка 2^ea, где e ≥ 3, столько же, сколько абелевых групп порядка a^[4].

Всякая гамильтонова группа является локально конечной.

Всякая дедекиндова группа является Т-группой.

Всякая дедекиндова группа является квазигамильтоновой.

Примечания

↑ Dedekind, Richard (1897), "Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind", Mathematische Annalen, 48 (4): 548—561, doi:10.1007/BF01447922, ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, Архивировано 3 марта 2016, Дата обращения: 24 января 2018 Источник (неопр.). Дата обращения: 24 января 2018. Архивировано 3 марта 2016 года.
↑ Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12-17, 1933
↑ Miller, G. A. (1898), "On the Hamilton groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 4 (10): 510—515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3
↑ Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž (2005), "On the number of Hamiltonian groups", Mathematical Communications, 10 (1): 89—94, arXiv:math/0503183, Bibcode:2005math......3183H {{citation}}: Неизвестный параметр |class= игнорируется ()

Похожие исследовательские статьи

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ и M₂₄, введённые Эмилем Леонардом Матьё. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a⁻¹xa.

Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы.

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Фёдор Алексеевич Богомолов — советский и американский математик, известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.

В математике кватернионом Гурвица называется кватернион, компоненты которого либо все целые, либо все полуцелые. Множество всех кватернионов Гурвица

\text{[math]}

В математике свободная абелева группа — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

<span class="mw-page-title-main">Группа кватернионов</span>

В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q₈, и определяется заданием группы

\text{[math]}

В теории групп дициклическая группа Dic_n— это некоммутативная группа порядка 4n, являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q_4n.

Квазинормальная подгруппа — это подгруппа особого типа, коммутирующая со всеми остальными подгруппами данной группы, относительно поэлементного произведения.

Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает группы Судзуки, которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах конечных простых групп.

Говорят, что группа является ЦА-группой, CA-группой или централизаторной абелевой группой, если централизатор любого нетождественного элемента является абелевой подгруппой. Конечные ЦА-группы имеют историческое значение как ранний пример типов классификаций, которые потом использовались в теореме Томпсона–Фейта и классификации простых конечных групп. Некоторые важные бесконечные группы являются ЦА-группами, такие как свободные группы, монстры Тарского и некоторые из групп Бёрнсайда, а локально конечные ЦА-группы были классифицированы точно. ЦА-группы также называются коммутативно-транзитивными группами, поскольку коммутативность является транзитивным отношением для нетождественных элементов группы тогда и только тогда, когда группа является ЦА-группой.

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

\text{[math]}

= 4157776806543360000

≈ 4⋅10¹⁸.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением подгруппы N и факторгруппы G/N.

Мультипликатор Шура является второй гомологией групп $\text{[math]}$ группы G. Его ввёл Исай Шур в работе по проективным представлениям.

Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co₁, Co₂ и Co₃ вместе со связанной с ними конечной группой Co₀.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.