Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.

Дивизор Вейля на алгебраическом многообразии ${\displaystyle X}$ (или, более общо, на нётеровой схеме) — это конечная линейная комбинация ${\displaystyle {\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}}$, где ${\displaystyle [Z_{i}]}$ — неприводимые замкнутые подмножества ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle n_{i}}$ — целые коэффициенты. Очевидно, что дивизоры Вейля образуют абелеву группу относительно сложения; эту группу обозначают ${\displaystyle \mathrm {Weil} \,X}$. Дивизор вида ${\displaystyle [Z]}$ называется простым, а дивизор, для которого все коэффициенты ${\displaystyle n_{i}}$ неотрицательны — эффективным.

Предположим, что схема ${\displaystyle X}$ является целой, отделимой, и регулярной в коразмерности 1 (в частности, эти свойства выполняются для гладких алгебраических многообразий). Регулярность в коразмерности 1 означает, что локальное кольцо общей точки любого неприводимого замкнутого подмножества коразмерности 1 регулярно (и нётерово, так как является локализацией нётерова кольца), а следовательно, является кольцом дискретного нормирования. Любая рациональная функция на ${\displaystyle X}$ (элемент поля частных кольца регулярных функций ${\displaystyle K[X]}$) имеет некоторую норму в этом кольце. Если норма рациональной функции больше нуля для некоторого неприводимого подмножества ${\displaystyle Y}$, то говорят, что рациональная функция имеет ноль на ${\displaystyle Y}$, а если меньше нуля — имеет полюс. Из нётеровости схемы выводится, что норма рациональной функции не равна нулю лишь для конечного числа неприводимых подмножеств, таким образом каждой рациональной функции сопоставляется дивизор, обозначаемый ${\displaystyle (f)}$. Дивизоры, которые можно получить таким образом, называют главными.

Поскольку ${\displaystyle (fg)=(f)+(g)}$, главные дивизоры образуют подгруппу в ${\displaystyle \mathrm {Weil} \,X}$. Факторгруппа по подгруппе главных дивизоров называется группой классов дивизоров и обозначается ${\displaystyle \mathrm {Cl} \,X}$. Группа классов дивизоров сама по себе является интересным инвариантом схемы (тривиальность группы классов аффинной схемы ${\displaystyle \mathrm {Spec} A}$ является критерием факториальности кольца ${\displaystyle A}$ при условии, что ${\displaystyle A}$ нётерово и целозамкнуто)^[1], а также, в некоторых случаях, позволяет классифицировать все одномерные расслоения над данной схемой.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — линейное расслоение над (целой, нётеровой, регулярной в коразмерности 1) схемой ${\displaystyle X}$; ему соответствует пучок сечений, локально изоморфный кольцу регулярных функций на ${\displaystyle X}$. Используя эти изоморфизмы, любому рациональному сечению ${\displaystyle s}$ данного пучка (то есть сечению над некоторым открытым плотным подмножеством) можно сопоставить дивизор его нулей и полюсов, обозначаемый ${\displaystyle \mathrm {div} \,s}$^[2]. Два различных рациональных сечения отличаются умножением на рациональную функцию, поэтому это сопоставление определяет корректно заданное отображение из группы Пикара^[англ.] в группу классов дивизоров: ${\displaystyle \mathrm {div} :\mathrm {Pic} \,X\to \mathrm {Cl} \,X}$. Можно проверить также, что это отображение является гомоморфизмом (тензорному произведению расслоений соответствует сумма дивизоров), в случае нормальности схемы оно инъективно, а в случае локальной факториальности схемы — сюръективно^[3]. В частности, все эти условия выполняются для гладких алгебраических многообразий, что даёт классификацию линейных расслоений над ними с точностью до изоморфизма. Например, все одномерные расслоения над аффинной локально факториальной схемой тривиальны, так как тривиальна её группа классов дивизоров.

Для работы с произвольными схемами, имеющими особенности, часто оказывается более удобным другое обобщение понятия подмногообразия коразмерности 1^[4]. Пусть ${\displaystyle U_{i}}$ — некоторое покрытие схемы ${\displaystyle X}$ аффинными схемами, а ${\displaystyle f_{i}}$ — семейство рациональных функций на соответствующих ${\displaystyle U_{i}}$ (в данном случае под рациональной функцией подразумевается элемент полного кольца частных). Если эти функции согласованы, в том смысле что ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle f_{j}}$ на ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ отличаются умножением на обратимую регулярную функцию, то данное семейство задаёт дивизор Картье.

Более точно, пусть ${\displaystyle K(U)}$ — полное кольцо частных кольца регулярных функций ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ (где ${\displaystyle U}$ — произвольное аффинное^[5] открытое подмножество). Так как аффинные подмножества образуют базу топологии ${\displaystyle X}$, все ${\displaystyle K(U)}$ однозначно определяют предпучок на ${\displaystyle X}$, соответствующий ему пучок обозначается ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}^{*}}$. Дивизором Картье называется глобальное сечение факторпучка ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$ — пучок обратимых регулярных функций. Имеется точная последовательность ${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$, применив к ней точный слева функтор глобальных сечений, получим точную последовательность ${\displaystyle 0\to \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$. Дивизоры Картье, лежащие в образе отображения из ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})}$, называются главными.

Существует естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье (групповая операция соответствует умножению функций) в группу дивизоров Вейля; если ${\displaystyle X}$ — целая отделимая нётерова схема, все локальные кольца которой факториальны, это отображение является изоморфизмом. В случае же, когда условие локальной факториальности не выполняется, дивизоры Картье соответствуют локально главным дивизорам Вейля (дивизорам, которые в окрестности каждой точки задаются как нули некоторой рациональной функции). Пример дивизора Вейля, не являющегося дивизором Картье — прямая в квадратичном конусе ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})}$, проходящая через его вершину.

Дивизору Картье, как и дивизору Вейля, можно сопоставить линейное расслоение (или, эквивалентно, обратимый пучок). Отображение из факторгруппы дивизоров Картье по подгруппе главных дивизоров в группу Пикара является инъективным гомоморфизмом, а в случае проективных или целых схем — сюръективным.

Дивизор Картье называется эффективным, если все задающие его функции ${\displaystyle f_{i}}$ регулярны на соответствующих множествах ${\displaystyle U_{i}}$. В этом случае соответствующий дивизору обратимый пучок является пучком идеалов^[англ.], то есть пучком функций, зануляющихся на некоторой замкнутой подсхеме. Обратно, эта замкнутая подсхема однозначно определяет эффективный дивизор, поэтому эффективные дивизоры Картье на ${\displaystyle X}$ можно определить как замнутые подсхемы ${\displaystyle X}$, которые локально можно задать как множество нулей одной функции, не являющейся делителем нуля^[6]. На целой отделлимой нётеровой схеме, локальные кольца которой факториальны, эффективные дивизоры Картье соответствуют в точности эффективным дивизорам Вейля^[7].

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Kleiman, Steven. Misconceptions about K_X // L'Enseignment Mathématique. — 1979. — № 25. — P. 203-206. — doi:10.5169/seals-50379.

• Ravi Vakil. MATH 216: Foundations of Algebraic Geometry (версия 11.06.2013). — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.