Дисконтинуум

Дисконтинуум — нульмерный^[1] совершенный компакт.

Примеры

Первый пример дисконтинуума обнаружил Георг Кантор — канторово множество. Дисконтинуумы с интересными свойствами в трёхмерном евклидовом пространстве построили Павел Урысон и Луи Антуан. Так, ожерелье Антуана — дисконтинуум, дополнение к которому неодносвязно.

Свойства

Все дисконтинуумы гомеоморфны канторову множеству.
Каждый метризуемый компакт есть непрерывный образ канторова множества.
Каждый совершенный метризуемый компакт содержит канторово множество.
- Следовательно, каждый метризуемый компакт либо счётен, либо имеет мощность континуума.

Примечания

↑ Компакт $K$ нульмерен, если для любой пары его точек $a,b\in K$ он может быть представлен в виде суммы двух непересекающихся замкнутых подмножеств $K_{1}\cup K_{2}$ , для которых $a\in K_{1},b\in K_{2}$

Литература

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968.
Урысон П. С. О канторовых многообразиях, ч.1 // Труды по топологии и другим областям математики. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1954. — Т. 1.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Ка́нторово мно́жество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества $\text{[math]}$ в топологическом пространстве $\text{[math]}$ точка $\text{[math]}$ называется точкой конденсации, если во всякой окрестности $\text{[math]}$ содержится несчётное множество точек множества $\text{[math]}$ .

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Губка Менгера</span>

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

<span class="mw-page-title-main">Кривая Урысона</span> наиболее общее определение кривой

Кривая Урысона — наиболее общее определение кривой, введённое Павлом Урысоном в 1921 году. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность.

Ретракт топологического пространства $\text{[math]}$ — подпространство $\text{[math]}$ этого пространства, для которого существует ретракция $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ ; то есть непрерывное отображение $\text{[math]}$ , тождественное на $\text{[math]}$ .

Крива́я Пеа́но — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат. Другое название — заполняющая пространство кривая.

Универсальное пространство — топологическое пространство $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ принадлежит классу $\text{[math]}$ и каждое пространство $\text{[math]}$ из класса $\text{[math]}$ вкладывается в $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ гомеоморфно подпространству пространства $\text{[math]}$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении.

Полное по Чеху пространство — топологическое пространство, являющееся G-дельта-множеством в некотором объемлющем хаусдорфовом компакте.

Ожерелье Антуана — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.