Дискретная группа

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки (то есть для любого элемента из G имеется окрестность, которая содержит только этот элемент). Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой^[1]. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (со стандартной метрической топологией), а вот рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Любая группа может быть снабжена дискретной топологией. Поскольку любое отображение из дискретного пространства непрерывно, топологические гомоморфизмы между дискретным группами являются в точности гомоморфизмами между лежащими в основе группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Поэтому дискретные группы могут быть отождествлены с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.

Имеется несколько случаев, когда топологическая группа или группа Ли успешно снабжена «неестественной» дискретной топологией. Это случается, например, в теории компактификации Бора и в теории когомологий групп^[англ.] групп Ли.

Дискретная группа изометрий — это группа таких изометрий, что для любой точки метрического пространства множество образов точки при изометриях является дискретным множеством. Дискретная группа симметрии — это группа симметрии, являющаяся дискретной группой изометрий.

Поскольку топологические группы однородны, нужно рассмотреть лишь отдельную точку, чтобы определить, является ли топологическая групп дискретной. В частности, топологическая группа дискретна тогда и только тогда, когда синглетон, содержащий тождественный элемент является открытым множеством.

Дискретная группа является тем же самым, что и группа Ли нулевой размерности (в несчётных дискретных группах не выполняется вторая аксиома счётности, так что авторы, требующие от группы Ли удовлетворения этих требований, не считают их группами Ли). Единичная компонента^[англ.] дискретной группы — это просто тривиальная подгруппа, в то время как группа компонентов^[англ.] изоморфна самой группе.

Поскольку на конечном множестве только хаусдорфова топология дискретна, конечная хаусдорфова топологическая группа должна быть дискретной. Отсюда следует, что любая конечная подгруппа хаусдорфовой группы дискретна.

Дискретная подгруппа H группы G компактна, если существует компактное подмножество K группы G, такое что HK = G.

Дискретные нормальные подгруппы играют важную роль в теории накрывающих групп^[англ.] и локально изоморфных групп. Дискретная нормальная подгруппа связной группы G обязательно лежит в центре группы G, а потому абелева.

Другие свойства:

• другая дискретная группа является вполне несвязной группой^[англ.]
• любая подгруппа дискретной группы дискретна.
• любая факторгруппа дискретной группы дискретна.
• произведение конечного числа дискретных групп является дискретной группой.
• дискретная группа компактна^[англ.] тогда и только тогда, когда она конечна.
• любая дискретная группа локально компактна^[англ.].
• любая дискретная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута.
• любая дискретная подгруппа компактной хаусдорфовой группы конечна.

• Группы бордюров и группы орнаментов являются дискретными подгруппами группы изометрий евклидовой плоскости. Группы орнаментов компакты, а вот группы бордюров нет.
• Кристаллографическая группа обычно означает компактную дискретную подгруппу изометрий некоторого евклидова пространства. Иногда, однако, кристаллографическая группа может быть компактной дискретной подгруппой нильпотентной или разрешимой группы Ли^[англ.].
• Любая группа треугольника T является дискретной подгруппой группы изометрии сферы (если T конечна), евклидовой плоскости (если T имеет ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} }$ подгруппу конечного индекса), или гиперболической плоскости.
• Фуксовы группы являются по определению дискретными подгруппами группы изометрии гиперболической плоскости.
  • Фуксова группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости является дискретной подгруппой группы Ли ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$, группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости.
  • Фуксова группа иногда считается специальным случаем клейновой группы при внедрении гиперболической плоскости изометрично в трёхмерное гиперболическое пространство и расширении действия группы с плоскости на всё пространство.
  • Модулярная группа ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ рассматривается как дискретная подгруппа группы ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$. Модулярная группа является решёткой в ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$, но не кокомпактна.
• Клейновы группы по определению являются дискретными подгруппами группы изометрии гиперболического пространства размерности 3. Они включают квазифуксовы группы^[англ.].
  • Клейнова группа, сохраняющая ориентацию и действующая в верхней половине модели гипероблического пространства размерности 3 является дискретной подгруппой гуппы Ли ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$, группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхней полуплоскости гипероблического пространства размерности 3.
• Решётка в группе Ли является дискретной подгруппой, такой что мера Хаара факторпространства конечна.

• Кристаллографическая точечная группа симметрии
• Конгруэнтная подгруппа
• Арифметическая группа
• Геометрическая теория групп
• Вычислительная теория групп

• Leon Pontrjagin. Topological Groups. — Princeton University Press, 1946.
• Discrete group of transformations // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.
• Discrete subgroup // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.