Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой
В данном случае решением уравнения является |
Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой — решение уравнения относительно при известных и , где — точки, принадлежащие эллиптической кривой и являющиеся зашифрованным сообщением и начальной точкой соответственно[1]. Иначе говоря — это метод взлома системы безопасности, основанной на данной эллиптической кривой (например российский стандарт ЭП ГОСТ Р 34.10-2012[2]), и нахождения секретного ключа.
История
Эллиптическая криптография относится к разряду асимметричной, то есть шифрование происходит с помощью открытого ключа. Впервые этот алгоритм был независимо предложен Нилом Коблицем и Виктором Миллером[англ.] в 1985 году[3]. Это было обосновано тем, что дискретный логарифм на эллиптической кривой оказался сложнее классического дискретного логарифма на конечном поле. До сих пор не существует быстрых алгоритмов взлома сообщения, зашифрованного с помощью эллиптической кривой, в общем случае. В основном уязвимости таких шифров связаны с рядом недочетов при подборе начальных данных[4].
Введение
Данный метод основан на сведении дискретного логарифма на эллиптической кривой к дискретному логарифму в конечном поле с некоторым расширением поля, на котором была задана эллиптическая кривая. Это значительно облегчает задачу, так как на данный момент существуют достаточно быстрые субэкспоненциальные алгоритмы решения дискретного логарифма, имеющие сложность , или -алгоритм Полларда со сложностью , разработанные для конечных полей[5].
Теория
Пусть — эллиптическая кривая, заданная в форме Вейерштрасса, над конечным полем порядка :
Предположим, что коэффициенты таковы, что кривая не имеет особенностей. Точки кривой вместе с бесконечноудаленной точкой , которая является нулевым элементом, образуют коммутативную группу, записывающуюся аддитивно, то есть для . Также известно, что если — конечное поле, то порядок такой группы по теореме Хассе будет удовлетворять уравнению .
Пусть — подгруппа точек , определённых над . Следовательно, — конечная коммутативная группа. Возьмем точку , порождающую циклическую группу порядка . То есть [1].
Задача вычисления дискретных логарифмов в заключается в следующем. Для данной точки найти такое, что .
Задача вычисления дискретных логарифмов в конечном поле заключается в следующем. Пусть — примитивный элемент поля . Для данного ненулевого найти такое, что [6].
Пусть НОК и расширение поля такое, что содержит подгруппу кручения , изоморфную , то есть . Известно, что такое расширение существует[7]. Из этого следует, что для некоторого . В этом случае будет выполняться следующая теорема, позволяющая перейти к дискретному логарифму в расширенном конечном поле[6]:
Теорема
Пусть задана точка такая, что . Тогда сложность вычисления дискретных логарифмов в группе не больше сложности вычисления дискретных логарифмов в .
Чтобы воспользоваться данной теоремой, необходимо знать степень расширения поля над и точку , для которой [6].
Случай суперсингулярной эллиптической кривой
Для суперсингулярной кривой , и легко находятся, при этом . Это было установлено Альфредом Менезесом, Окамото Тацуаки и Скоттом Ванстоуном в 1993 году. В своей статье они описали вероятностный алгоритм вычисления вспомогательной точки , среднее время работы которого ограничено полиномом от [4].
Общий случай
Пусть — максимальная подгруппа , порядок элементов которой является произведением простых множителей . Таким образом, и , где делит и . При этом (в случае , под нахождение точки можно адаптировать метод для суперсингулярных кривых[6]). Пусть — минимальное натуральное число, для которого выполняется .
Теорема
Пусть НОК. Тогда и если известно разложение на простые множители, то имеется вероятностный алгоритм вычисления точки , для которой . Среднее время работы алгоритма равно операций в поле для некоторой постоянной и .
В случаях, когда НОК, алгоритм работает слишком медленно, либо не работает вовсе[6].
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Семаев И. А. О вычислении логарифмов на эллиптических кривых. — Дискрет. матем., 1996. — Т. 8, вып. 1. — С. 65–71.
- ↑ ЭП ГОСТ Р 34.10-2012 http://www.altell.ru/legislation/standards/gost-34.10-2012.pdf Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
- ↑ Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. An Introduction to Mathematical Cryptography. — Springer. — 530 с. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ 1 2 Menezes A., Okamoto T., Vanstone S.,. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. IEEE. — Trans. Inform. Theory, 1993. — С. 1639—1646.
- ↑ Don Johnson, Alfred Menezes, Scott Vanstone. The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). — Certicom Research, Canada. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ 1 2 3 4 5 Семаев И. А. К вопросу о сведении вычисления дискретных логарифмов на эллиптической кривой к вычислению дискретных логарифмов в конечном поле. — Дискрет. матем., 1999. — Т. 11, вып. 3. — С. 24–28.
- ↑ Silverman J. H. The Arithmetic of Elliptic Curves.. — Springer, Berlin, 1986. — 522 с. Архивировано 8 декабря 2015 года.
Литература
Теория
- Семаев И. А. О вычислении логарифмов на эллиптических кривых. — Дискрет. матем., 1996. — Т. 8, вып. 1. — С. 65–71.
- Дополнение: Семаев И. А. К вопросу о сведении вычисления дискретных логарифмов на эллиптической кривой к вычислению дискретных логарифмов в конечном поле. — Дискрет. матем., 1999. — Т. 11, вып. 3. — С. 24–28.
- Don Johnson, Alfred Menezes, Scott Vanstone. The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). — Certicom Research, Canada. Архивировано 4 марта 2016 года.
История
- Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. An Introduction to Mathematical Cryptography. — Springer. — 530 с.