Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции ${\displaystyle z}$ в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

${\displaystyle d^{n}z=d(d^{n-1}z)}$ .

Для функции, зависящей от одной независимой переменной ${\displaystyle z=f(x)}$ второй и третий дифференциалы выглядят так:

${\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2}}$,

${\displaystyle d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^{2}=z'''dx^{3}}$.

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции ${\displaystyle z=f(x)}$, при условии, что ${\displaystyle x}$ — независимая переменная:

${\displaystyle d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}}$.

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что ${\displaystyle dx}$ есть произвольное и не зависящее от ${\displaystyle x}$ , которое при дифференцировании по ${\displaystyle x}$ следует рассматривать как постоянный множитель. Если ${\displaystyle x}$ не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже)^[1].

Если функция ${\displaystyle z=f(x,y)}$ имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ${\displaystyle d^{2}z=d(dz)}$.

${\displaystyle d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=}$

${\displaystyle =\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy\right)dy}$

${\displaystyle d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}}$

${\displaystyle d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z}$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции ${\displaystyle z=f(x_{1},...,x_{r})}$ выглядит следующим образом:

${\displaystyle d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r}}}dx_{r}\right)^{n}z}$

где ${\displaystyle z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})}$, а ${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r}}$ произвольные приращения независимых переменных ${\displaystyle x_{1},...,x_{r}}$.
Приращения ${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r}}$ рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

При ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle n}$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ${\displaystyle d^{n}f}$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная ${\displaystyle x}$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, ${\displaystyle x=\varphi (t)}$.

Так, для независимой переменной ${\displaystyle x}$ второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

${\displaystyle d^{2}z=z''(dx)^{2}}$

Если же переменная ${\displaystyle x}$ сама может зависеть от других переменных, то ${\displaystyle d(dx)=d^{2}x\neq 0}$. В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид^[1]:

${\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z''\,(dx)^{2}+z'd^{2}x}$.

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

${\displaystyle d^{3}z=z'''\,(dx)^{3}+3z''dx\,d^{2}x+z'd^{3}x}$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle y=f(x)=x^{3}}$ :

• если ${\displaystyle x}$ — независимая переменная, то ${\displaystyle d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2}}$
• если ${\displaystyle x=\varphi (t)=t^{2}}$ и ${\displaystyle dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt}$
  1. ${\displaystyle 6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}}$
  2. при этом, ${\displaystyle y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}}$ и ${\displaystyle d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2}}}$

С учётом зависимости ${\displaystyle x=t^{2}}$, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

• С помощью дифференциалов, функция ${\displaystyle F}$ при условии существования её ${\displaystyle (n+1)}$ первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:

    ${\displaystyle {\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x)}{(n+1)!}}}$ , ${\displaystyle (0<\theta <1)}$;

  • для функции с несколькими переменными:

    ${\displaystyle {\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)!}}}$ , ${\displaystyle (0<\theta <1)}$

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})}$ является положительно определённым^[англ.] (отрицательно определённым), то точка ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})}$ является неопределённым, то в точке ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ нет экстремума.

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1