Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Пусть ${\displaystyle \Bbbk }$ — поле, ${\displaystyle A}$ — алгебра над полем ${\displaystyle \Bbbk }$, коммутативная и с единицей и ${\displaystyle \Delta \colon A\to A}$ — ${\displaystyle \Bbbk }$-линейное отображение, ${\displaystyle \Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)}$. Всякий элемент алгебры ${\displaystyle a\in A}$ можно понимать как оператор умножения: ${\displaystyle a(b)=ab,\ b\in A}$. Операторы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \Delta }$, вообще говоря, не коммутируют и равенство ${\displaystyle a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0}$ будет выполняться в том и только том случае, когда ${\displaystyle \Delta }$ — ${\displaystyle A}$-гомоморфизм.

Определение 1. ${\displaystyle \Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)}$ называется дифференциальным оператором (ДО) порядка ${\displaystyle \leq n}$ из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A}$, если для любых ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in A}$

${\displaystyle [a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.}$

Множество всех ДО порядка ${\displaystyle \leq n}$ из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}A}$. Сумма двух ДО порядка ${\displaystyle \leq n}$ будет снова ДО порядка ${\displaystyle \leq n}$ и множество ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}A}$ устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры ${\displaystyle A}$, поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над ${\displaystyle A}$.

Точками алгебры ${\displaystyle A}$ называются ${\displaystyle \Bbbk }$-гомоморфизмы из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \Bbbk }$. Обозначим множество всех точек алгебры ${\displaystyle A}$, снабженное топологией Зарисского, через ${\displaystyle \vert A\vert }$. Элементы алгебры ${\displaystyle A}$ можно понимать как функции на пространстве ${\displaystyle \vert A\vert }$, положив ${\displaystyle a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert }$.

Определение 2. Отображение ${\displaystyle \Delta _{z}\colon A\to \Bbbk }$ называется касательным вектором к пространству ${\displaystyle \vert A\vert }$ в~точке ${\displaystyle z\in \vert A\vert }$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

${\displaystyle \Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.}$

Множество ${\displaystyle T_{z}\vert A\vert }$ всех касательных векторов в~точке ${\displaystyle z\in \vert A\vert }$ обладает естественной структурой векторного пространства над ${\displaystyle \Bbbk }$. Оно называется касательным пространством пространства ${\displaystyle \vert A\vert }$ в точке ${\displaystyle z}$.

Определение 3. Отображение ${\displaystyle \Delta \colon A\to A}$ называется дифференцированием алгебры ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle A}$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.}$

Множество ${\displaystyle D(A)}$ всех дифференцирований алгебры ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle A}$ обладает естественной структурой левого ${\displaystyle A}$-модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование ${\displaystyle \Delta }$ определяет семейство касательных векторов ${\displaystyle \Delta _{z}}$ для всех точек ${\displaystyle z\in \vert A\vert }$: ${\displaystyle \Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)}$.

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка ${\displaystyle \leq 1}$:

${\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \}}$.

Определен естественный изоморфизм левых ${\displaystyle A}$-модулей

${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.}$

Если ${\displaystyle A=C^{\infty }(M)}$ — алгебра гладких функций на многообразии ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle \vert C^{\infty }(M)\vert }$ естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что ${\displaystyle \vert C^{\infty }(M)\vert =M}$.

Теорема. Пусть ${\displaystyle \Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)}$ и ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ — система локальных координат в некоторой окрестности ${\displaystyle U\subset M}$. Тогда ограничения ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle \nabla }$ на ${\displaystyle U}$ могут быть записаны в следующем виде

${\displaystyle \nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}},\quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |}}{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)}$

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ — это векторные поля на ${\displaystyle M}$.

Пусть ${\displaystyle P,\ Q}$ — модули над ${\displaystyle A}$. Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. ${\displaystyle \Bbbk }$-гомоморфизм ${\displaystyle \Delta \colon Q\to P}$ называется линейным дифференциальным оператором порядка ${\displaystyle \leq n}$ из ${\displaystyle Q}$ в~${\displaystyle P}$, если для любых ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in A}$

${\displaystyle [a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0}$

Определение 5. Отображение ${\displaystyle \Delta \colon A\to A}$ называется дифференцированием алгебры ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle P}$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.}$

Множество ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}(P,Q)}$ всех ДО порядка ${\displaystyle \leq n}$ из ${\displaystyle Q}$ в ${\displaystyle P}$ является бимодулем над ${\displaystyle A}$, а множество ${\displaystyle \mathrm {D} (P)}$ всех дифференцирований ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle P}$ — левым ${\displaystyle A}$-модулем.

Если ${\displaystyle A=C^{\infty }(M)}$ — алгебра гладких функций на многообразии ${\displaystyle M}$, то проективные конечнопорождённые ${\displaystyle A}$-модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над ${\displaystyle M}$. В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Функторы ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )}$ и ${\displaystyle \mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )}$ представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle \Lambda }$ и дифференцирование ${\displaystyle d\colon A\to \Lambda }$, такие, что для любого ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle Q}$ имеет место естественный изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).}$

2. Существуют единственные ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}(P)}$ и ДО ${\displaystyle j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)}$ порядка ${\displaystyle \leq n}$, такие, что для любого ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle Q}$ имеет место естественный изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P,Q).}$

Дифференцирование ${\displaystyle d}$ и ДО ${\displaystyle j_{n}}$ называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка ${\displaystyle \leq n}$ соответственно, а модули ${\displaystyle \Lambda }$ и ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}(P)}$ — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка ${\displaystyle n}$. (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}(P)}$ и ${\displaystyle \Lambda }$ довольно просто описываются "на пальцах". Именно, ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}(P)}$ порожден всевозможными элементами вида ${\displaystyle j_{n}(p),\ p\in P}$, для которых выполнены следующие соотношения:

${\displaystyle j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P}$,

${\displaystyle {\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)=0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A}$,

где ${\displaystyle {\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p)-a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)}$, и так далее.

Аналогично, ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle \Lambda }$ порожден всевозможными элементами вида ${\displaystyle da,\ a\in A}$, для которых выполнены следующие соотношения:

${\displaystyle d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A}$,

${\displaystyle d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A}$.

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры ${\displaystyle A=C^{\infty }(M)}$ дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии ${\displaystyle M}$, а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия ${\displaystyle M}$. Например, пусть ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{1}}$, дифференциальная форма ${\displaystyle e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda }$ отлична от нуля, но ${\displaystyle (e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}}$. Модули над ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-модуля ${\displaystyle S}$ множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается ${\displaystyle G(S)}$. Модули ${\displaystyle G(\Lambda )}$ и ${\displaystyle G({\mathcal {J}}^{n}(P))}$, где ${\displaystyle P}$ — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов ${\displaystyle \mathrm {D} }$ и ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )}$ в категории геометрических модулей над ${\displaystyle A=C^{\infty }(M)}$. Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля^[1], С. Судзуки^[2] и А. М. Виноградова^[3]. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

• Коммутативная алгебра
• Гамильтонова механика
• Дифференциальная алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Связность (некоммутативная геометрия)

• Джет Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, Москва, 2000.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, В. В. Лычагин, Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений, Глава 1. Линейные дифференциальные операторы в коммутативных алгебрах М., Наука, 1986.
• А. М. Виноградов, Некоторые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, выпуск 6(210), — стр. 145–150.
• I. S. Krasil’shchik, Lectures on Linear Differential Operators over Commutative Algebras. Eprint DIPS-01/98
• Algebraic aspects of differential calculus, edited by Joseph Krasil'shchik and Alexandre Vinogradov, — Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volume 49, Issue 3, December 1997, 321 pages, ISSN: 0167-8019. (Статьи этого выпуска по отдельности доступны в электронном виде: DIPS-01/96, DIPS-02/96, DIPS-03/96, DIPS-04/96, DIPS-05/96, DIPS-06/96, DIPS-07/96, DIPS-08/96).
• I. S. Krasil’shchik, A. M. Verbovetsky, Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. and Sciences, Opava (Czech Rep.), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2.
• Alexandre M. Vinogradov, Logic of differential calculus and the zoo of geometric strujctures, arXiv:1511.06861.
• A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, — AMS "Translation of Mathematical Monographs" series, vol. 204, 247 pages, 2001.