Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ в другую функцию ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ того же типа для каждого значения параметра ${\displaystyle \alpha >0}$. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от ${\displaystyle f}$ в том смысле, что для целых положительных значений ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ представляет собой повторную первообразную функции ${\displaystyle f}$ порядка ${\displaystyle \alpha }$. Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году.^[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции.^[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt,}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, а ${\displaystyle a}$ — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \alpha }$ — комплексное число в полуплоскости ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha >0}$. Зависимость от точки отсчёта ${\displaystyle a}$ часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. ${\displaystyle I^{1}f}$ конечно же является первообразной (первого порядка) функции ${\displaystyle f}$, для целых положительных значений ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ представляет собой первообразную порядка ${\displaystyle \alpha }$ в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид^[3]:

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

Данное выражение имеет смысл и при ${\displaystyle a=-\infty }$, с соответствующими ограничениями на ${\displaystyle f}$.

Фундаментальными соотношениями остаются:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.^[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции ${\displaystyle I^{\alpha }f}$.

Пусть ${\displaystyle (a,\;b)}$ — фиксированный ограниченный интервал. Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ отображает любую интегрируемую функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$ в функцию ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$, которая также интегрируема по теореме Фубини. Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет линейный оператор на пространстве ${\displaystyle L^{1}(a,\;b)}$:

${\displaystyle I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).}$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на ${\displaystyle L^{1}}$. Таким образом, верно следующее неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Здесь ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ обозначает норму в ${\displaystyle L^{1}(a,\;b)}$.

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$, то и ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ также принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ и выполняется аналогичное неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p}}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},}$

где ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ — норма в пространстве ${\displaystyle L^{p}}$ на интервале ${\displaystyle (a,\;b)}$. Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет ограниченный линейный оператор из ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ в себя. Более того, ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ стремится к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$-смысле при ${\displaystyle \alpha \to 0}$ вдоль вещественной оси. То есть:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

для всех ${\displaystyle p\geqslant 1}$. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора ${\displaystyle I}$ можно доказать поточечную сходимость ${\displaystyle I^{\alpha }f\to f}$ почти всюду.

Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)}$, состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

${\displaystyle \|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

конечна. Для ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle X_{\sigma }}$ преобразование Лапласа функции ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ принимает особенно простую форму:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),}$

где ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>\sigma }$. Здесь через ${\displaystyle F(s)}$ обозначено преобразование Лапласа функции ${\displaystyle f}$ и это свойство выражает тот факт, что ${\displaystyle I^{\alpha }}$ представляет собой Фурье-мультипликатор.

Можно также определить производные дробного порядка от функции ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,}$

где через ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

${\displaystyle \mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}}$

• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 0423094.
• Miller, Kenneth S.; Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta mathematica, 81 (1): 1—223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
• Alan Beardon. Fractional calculus II  (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.
• Alan Beardon. Fractional calculus III  (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.