Диэдральная группа

Диэдральная группа (группа диэдра) — группа симметрии правильного многоугольника, включающая как вращения, так и осевые симметрии^[1]. Диэдральные группы являются простейшими примерами конечных групп и играют важную роль в теории групп, геометрии и химии. Хорошо известно и совершенно тривиально проверяется, что группа, образованная двумя инволюциями с конечным числом элементов в области определения является диэдральной группой.

Имеется два основных вида записи диэдральной группы, связанной с ${\displaystyle n}$-сторонним многоугольником. В геометрии группа записывается как ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$, в то время как в общей алгебре та же самая группа обозначается как ${\displaystyle \mathrm {D} _{2n}}$, где индекс является числом элементов в группе. Имеется также нотация Коксетера, в которой осевая симметрия порядка ${\displaystyle 2n}$ обозначается как ${\displaystyle [n]}$), а вращение порядка ${\displaystyle n}$ как ${\displaystyle [n]^{+}}$. Ещё одна запись — нотация орбиобразия, в которой осевая симметрия обозначается как ${\displaystyle *nn}$, а вращения — как ${\displaystyle n}$.

В этой статье ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ (или, иногда, ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$) относится к симметриям правильного ${\displaystyle n}$-угольника.

Правильный ${\displaystyle n}$-угольник имеет ${\displaystyle 2n}$ различных симметрий: ${\displaystyle n}$ поворотов и ${\displaystyle n}$ осевых отражений, образующих диэдральную группу ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$. Если ${\displaystyle n}$ нечётно, каждая ось симметрии проходит через середину одной из сторон и противоположную вершину. Если ${\displaystyle n}$ чётно, имеется ${\displaystyle n/2}$ осей симметрии, соединяющих середины противоположных сторон и ${\displaystyle n/2}$ осей, соединяющих противоположные вершины. В любом случае, имеется ${\displaystyle n}$ осей симметрии и ${\displaystyle 2n}$ элементов в группе симметрий. Отражение относительно одной оси, а затем относительно другой, приводит к вращению на удвоенный угол между осями. Изображения ниже показывают результат действия элемента ${\displaystyle \mathrm {D} _{8}}$ на дорожный знак Стоп:

Первая строка показывает восемь вращений, а вторая — восемь отражений.

Как и для любого другого геометрического объекта, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова будет симметрией. Таким образом, симметрии правильного многоугольника образуют конечную группу.

Таблица Кэли показывает результаты композиций в группе ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$ симметрий правильного треугольника. ${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$ обозначает тождественное преобразование, ${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$ обозначают вращение против часовой стрелки на ${\displaystyle 120}$ и ${\displaystyle 240}$ градусов соответственно, ${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$, ${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$, и ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$ обозначают отражения относительно осей, показанных на рисунке справа.

	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$
${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$
${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$
${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$
${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$
${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$
${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {R} _{0}}$

Например, ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1}}$, поскольку применение последовательно отражений ${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$ даёт поворот на ${\displaystyle 120^{\circ }}$. Обратите внимание на то, что композиция не является коммутативной операцией.

В общем случае, группа ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ содержит элементы ${\displaystyle \mathrm {R} _{0},\dots \mathrm {R} _{n-1}}$ и ${\displaystyle \mathrm {S} _{0},\dots \mathrm {S} _{n-1}}$ и в качестве операции имеет композицию, которая задается формулами:

${\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j}}$

${\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{i-j}}$

${\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j}}$

${\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{i-j}}$

Во всех случаях сложение и вычитание индексов должно выполняться с использованием вычетов по модулю ${\displaystyle n}$.

Если расположить центр правильного многоугольника в начале координат, элементы диэдральной группы станут линейными отображениями плоскости. Это позволяет представить элементы ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ как группу матриц, с умножением матриц в качестве операции композиции. Такое представление является примером ${\displaystyle 2}$-мерного представления группы.

Рассмотрим в качестве примера элементы группы ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$. Их можно представить как ${\displaystyle 8}$ следующих матриц:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}}$

В общем случае, матрицы для элементов ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ имеют следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{и}}\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle \mathrm {R} _{k}}$ — это матрица поворота против часовой стрелки на угол ${\displaystyle {\frac {2\pi k}{n}}}$, а ${\displaystyle \mathrm {S} _{k}}$ — отражение относительно оси, образующей угол ${\displaystyle {\frac {\pi k}{n}}}$ с осью абсцисс.

Для ${\displaystyle n=1}$ получим ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{1}}$. Это обозначение используется редко, разве что для обозначении в последовательности других групп, поскольку группа эквивалентна ${\displaystyle Z_{2}}$.

Для ${\displaystyle n=2}$ получим ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}}$ — четверную группу Клейна.

Оба случая являются исключениями в серии:

• Они абелевы, в то время как для всех остальных ${\displaystyle n}$ группа ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ не абелева.
• Они не являются подгруппами симметрической группы ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$, поскольку ${\displaystyle 2n>n!}$ для этих ${\displaystyle n}$.

Граф циклов диэдральных групп состоит из одного цикла длины ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n}$ циклов длины ${\displaystyle 2}$. Темные вершины графа циклов ниже показывают тождественное преобразование, белые — остальные элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней остальных элементов.

Dih1 Dih2 Dih3 Dih4 Dih5 Dih6 Dih7

Примером абстрактной группы Dih_n и общепринятого пути графического представления является группа D_n изометрий плоскости, не двигающих начало координат. Эти группы формируют одну из двух серий дискретных групп точек на плоскости. D_n состоит из n вращений на угол, кратный 360°/n, вокруг начала координат, и отражений относительно n осей, проходящих через центр координат и углом к остальным осям, кратным 180°/n. Эти точки представляют группу симметрии правильного многоугольника с n сторонами (для n ≥ 3).

Диэдральная группа D_n порождается вращением r порядка n и отражением s порядка 2, такими что

${\displaystyle srs=r^{-1}}$

В терминах геометрии: зеркальное отражение вращения выглядит как обратное вращение.

В терминах комплексных чисел: умножением на ${\displaystyle e^{2\pi i \over n}}$ и сопряжением.

В терминах матриц: задав

${\displaystyle r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

и определив ${\displaystyle r_{j}=r_{1}^{j}}$ и ${\displaystyle s_{j}=r_{j}\,s_{0}}$ для ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ мы можем записать правила образования  D_n как

${\displaystyle r_{j}\,r_{k}=r_{(j+k){\text{ mod }}n}}$

${\displaystyle r_{j}\,s_{k}=s_{(j+k){\text{ mod }}n}}$

${\displaystyle s_{j}\,r_{k}=s_{(j-k){\text{ mod }}n}}$

${\displaystyle s_{j}\,s_{k}=r_{(j-k){\text{ mod }}n}.}$

(Сравните Матрица поворота.)

Диэдральная группа D₂ порождается вращением r на 180 градусов, и симметрией s относительно оси X. Элементы D₂ можно представить как {e, r, s, rs}, где e — тождественное преобразование и rs — симметрия относительно оси 'Y.

D₂ изоморфна четверной группе Клейна.

Для n>2 операции вращения и отражения относительно прямой не коммутативны и D_n не является абелевой. Например, в D₄, вращение 90 градусов, а затем отражение дает совсем другой результат, нежели отражение, а затем вращение.

Таким образом, наряду с очевидным приложением к проблемам симметрии на плоскости, эти группы служат простейшими примерами неабелевых групп, и часто используются как контрпримеры для теорем, ограниченных абелевыми группами.

2n элементов D_n можно записать как e, r, r², …, rⁿ⁻¹, s, r s, r² s, …, rⁿ⁻¹ s. Первые n перечисленных элементов являются вращениями, остальные n — отражения относительно осей (все они имеют порядок  2). Результатом двух вращений или двух отражений будет вращение Результат вращения и отражения будет отражением.

Таким образом, мы установили, что D_n является подгруппой O(2).

Однако, обозначение D_n используется для подгрупп SO(3), которые тоже являются группами типа Dih_n: группа симметрии многоугольника, вложенного в трехмерное пространство (если n ≥ 3). Такие фигуры можно понимать как вырожденные тела (отсюда и название диэдрон (dihedron').

• 
  2D D₆ – Звезда Давида
• 
  2D D₂₄ – Ашока Чакра - символ на флаге Индии.

Следующие определения ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ эквивалентны:

• Группа автоморфизмов графа состоящего только из цикла с ${\displaystyle n}$ вершинами (если ${\displaystyle n\geqslant 3}$).
• Группа с заданием

${\displaystyle D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle }$

или

${\displaystyle D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .}$

Из второго представления следует, что ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ принадлежит к классу групп Коксетера.

Свойства диэдральных групп ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ с ${\displaystyle n\geqslant 3}$ зависят от чётности ${\displaystyle n}$. Например, центр группы ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ состоит только из тождества при нечётном ${\displaystyle n}$ и из двух элементов при чётном, а именно, из тождества и ${\displaystyle r^{n/2}}$. Для нечётных ${\displaystyle n}$ абстрактная группа ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$.

Если ${\displaystyle m}$ делит ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ имеет ${\displaystyle n/m}$ подгрупп вида ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{m}}$ и одну подгруппу ${\displaystyle \mathrm {Z} _{m}}$. Таким образом, полное число подгрупп группы ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ (${\displaystyle n\geqslant 1}$), равно ${\displaystyle \mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma } (n)}$, где ${\displaystyle \mathrm {d} (n)}$ — число натуральных делителей ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \mathrm {\sigma } (n)}$ — сумма натуральных делителей ${\displaystyle n}$.

Все отражения попарно сопряжены в случае нечётного ${\displaystyle n}$, но распадаются на два класса сопряжённости при чётном ${\displaystyle n}$. В терминах изоморфизма правильных ${\displaystyle n}$-угольников: для нечётных ${\displaystyle n}$ любое отражение получается из любого другого применением поворота, в то время как для чётных ${\displaystyle n}$ только половина отражений может быть получена из некоторого отражения поворотами. С геометрической точки зрения, в нечётноугольнике каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны, а в чётноугольнике имеется два набора осей, каждый набор соответствует своему классу сопряжённости — оси, проходящие через вершины и оси, проходящие через середины сторон.

Алгебраически это представители сопряжённых элементов из теоремы Силова: для нечётных ${\displaystyle n}$ любое отражение вместе с тождественным элементом образует подгруппу порядка ${\displaystyle 2}$, являющуюся силовской 2-подгруппой (${\displaystyle 2=2^{1}}$ — максимальная степень двойки, делящая ${\displaystyle 2n=2(2k+1)}$), в то время как для чётных ${\displaystyle n}$, эти подгруппы ${\displaystyle 2}$-го порядка не являются силовскими, поскольку ${\displaystyle 4}$ (наибольшая степень двойки) делит порядок группы.

Для чётного ${\displaystyle n}$ вместо этого имеется внешний автоморфизм, переставляющий два типа отражений.

Автоморфизм группы Dih_n изоморфен аффинной группе Aff(Z/nZ) ${\displaystyle =\{ax+b\mid (a,n)=1\}}$ и имеет порядок ${\displaystyle n\phi (n),}$, где ${\displaystyle \phi }$ — функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним.

Это можно понять в терминах генератора отражений и элементарных вращений (вращений на ${\displaystyle k(2\pi /n)}$, для k взаимно-простого с n). Какой автоморфизм будет внутренним, а какой внешним, зависит от чётности n.

• Для нечётного n диэдральная группа не имеет центра, так что любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм. Для чётного n вращение на 180° (отражение относительно центра координат) является нетривиальным элементом центра.
• Таким образом, для нечётного n, внутренняя группа автоморфизма имеет порядок 2n, а для чётного — порядок n.
• Для нечётного n, все отражения являются сопряжёнными, для чётного, они распадаются на два класса (те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через середины сторон), и эти два класса связаны с внешним автоморфизмом, который можно представить как вращение на ${\displaystyle \pi /n}$ (половину угла минимального вращения).
• Вращения дают нормальную подгруппу. Сопряжение отражения меняет знак (направление) вращения, но в остальном их не меняют. Автоморфизм, умножающий углы на k (взамнопростое с n) является внешним, если только не ${\displaystyle k=\pm 1.}$

Dih₉ имеет 18 внутренних автоморфизмов. Как группа изометрий двумерного пространства, D₉ имеет отражения с интервалом 20°. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращения отражений на число, кратное 20°, и отражения. Как группы изометрии они все являются аутоморфизмами. Имеется ещё, вдобавок, 36 внешних автоморфизмов, например, умножая угол вращения на 2.

Имеется несколько важных обобщений диэдральных групп:

• Бесконечная диэдральная группа — это бесконечная группа с алгебраической структурой, похожей на структуру конечных диэдральных групп. Её можно рассматривать как группу симметрий целых чисел.
• Ортогональная группа O(2), то есть группа симметрии круга, имеет свойства, похожие на свойства конечных диэдральных групп
• Семейство обобщенных диэдральных групп включает вышеприведенные расширения, как и многие другие.
• Квазиэдральные группы — это семейство конечных групп со свойствами, похожими на свойства конечных диэдральных групп.

• Дициклическая группа
• Массив Костаса

• Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
• Dihedral group at Groupprops
• Miller W., Symmetry Groups and Their Applications. Academic Press, 1972.
• Узоры симметрии = Patterns of Symmetry / Под ред. М. Сенешаль, Дж. Флека. — М.: Мир, 1980. — 271 с.
• Аминов Л. К. Теория симметрии (конспекты лекций и задачи). — М.: Мн-т компьютерных исследований, 2002. — 192 с.
• Вейль Г. Симметрия = Symmetry. — М.: Наука, 1968. — 152 с.
• Вигнер Е. Этюды о симметрии = Symmetries and Reflections: Scientific Essays. — М.: Мир, 1971. — 320 с.
• Голод П. И., Климык А. У. Математические основ теории симметрий = Математичні основи теорії симетрій. — Ижевск: РХД, 2001. — 528 с.
• Поклонский Н. А. Точечные группы симметрии: Учеб. Пособие — Мн.: БГУ, 2003. — ISBN 985-445-965-9
• Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2
• Фларри Р. Группы симметрии: Теория и химические приложения = Symmetry Groups: Theory and Chemical Applications. — М.: Мир, 1983. — 400 с.