Додекододекаэдр

Додекододекаэдр

Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Звёздчатая форма	Правильного додекаэдра
Элементы	F = 24, E = 60, V = 30
Характеристика Эйлера	$\chi$ = -6
Рёбер по граням	12{5}+12{⁵/₂}
Символ Шлефли	{⁵/₂,5}
Символ Витхоффа	2 \|5⁵/₂ 2 \| 5 ⁵/₃ 2 \| ⁵/₂ ⁵/₄ 2 \| 5⁵/₃ ⁵/₄
Группа симметрии	I_h, [5,3], (*532)
Обозначения	U₃₆,C₄₅, W₇₃
5.⁵/₂.5.⁵/₂ (Вершинная фигура)	Средний ромботриаконтаэдр двойственный многогранник

Додекододекаэдр — однородный звёздчатый многогранник, имеющий номер U₃₆.

Построение Витхоффа

Многогранник имеет четыре построения Витхоффа из четырёх семейств треугольников Шварца: 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4, которые дают одинаковые результаты. Таким же образом ему можно задать четыре расширенных символа Шлефли: t₁{5/2,5}, t₁{5/3,5}, t₁{5/2,5/4} и t₁{5/3,5/4}, а также ему соответствуют четыре диаграммы Коксетера — Дынкина: , , и .

Развёртка

Форму с тем же внешним видом, что и у додекододекаэдра, можно построить из этих развёрток:

Нужно 12 пятиугольных звёзд и 20 ромбических групп. Однако это построение заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекододекаэдра на набор непересекающихся ромбов, что не соответствует той же самой внутренней структуре.

Связанные многогранники

Выпуклой оболочкой многогранника является икосододекаэдр. У него то же самое расположение рёбер^[англ.], что и у малого додекогемикосаэдра^[англ.] (они имеют общие пентаграммные грани), и у большого додекогемикосаэдра^[англ.] (они имеют общие пятиугольные грани).

Додекододекаэдр	Малый додекогемикосаэдр^[англ.]
Большой додекогемикосаэдр^[англ.]	Икосододекаэдр (Выпуклая оболочка)

Этот многогранник можно считать полным усечением большого додекаэдра. Он находится посреди последовательности усечений от малого звёздчатого додекаэдра к большому додекаэдру.

Усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр по поверхности, но имеет 24 грани — 12 пятиугольников от усечения вершин и 12 перекрывающих их пятиугольников, полученных усечением пентаграмм. Усечение самого додекододекаэдра не является однородным и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как малый ромбододекаэдр^[англ.]), но он имеет однородное квазиусечение, которое не совсем правильно называют усечённым додекододекаэдром^[англ.] (следовало бы назвать квазиусечённым додекододекаэдром).

Название	Малый звёздчатый додекаэдр	Усечённый малый звёздчатый додекаэдр	Додекододекаэдр	Усечённый большой додекаэдр^[англ.]	Большой додекаэдр
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Рисунок

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической пятиугольной мозаики 4-го порядка^[англ.] по деформации пентаграмм обратно в правильные пятиугольники. Таким образом, он является, топологически, правильным многогранником с индексом 2:^[1]^[2]

Цвета на этом рисунке соответствуют цветам красных пентаграмм и жёлтых пятиугольников додекаэдра в начале статьи.

Средний Ромботриаконтаэдр

Средний Ромботриаконтаэдр

Тип	Звёздчатый многогранник
Грань
Элементы	F = 30, E = 60, V = 24
Характеристика Эйлера	$\chi$ = -6
Группа симметрии	I_h, [5,3], (*532)
Обозначения	DU₃₆
Двойственный многогранник	Додекододекаэдр

Средний ромботриаконтаэдр — невыпуклый изоэдрический многогранник. Он является двойственным додекододекаэдру и имеет 30 пересекающихся ромбических граней.

Его можно также назвать малым звёздчатым тридцатигранником.

Звёздчатые формы

Средний ромботриаконтаэдр является звёздчатой формой ромботриаконтаэдра. Выпуклой оболочкой среднего ромботриаконтаэдра является икосаэдр.

Связанные гиперболические мозаики

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической квадратной мозаики 5-го порядка^[англ.] по деформации ромбов в квадраты. Следовательно, он топологически является правильным многогранником с индексом 2:^[1]

Заметим, что квадратная мозаика 5-го порядка двойственна пятиугольной мозаике 4-го порядка^[англ.] и факторпространство пятиугольной мозаики 4-го порядка топологически эквивалентно двойственному многограннику для среднего ромботриаконтаэдра, додекододекаэдру.