Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство^[1], — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса^[2]. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому^[3].

Доказательство утверждения ${\displaystyle A}$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение ${\displaystyle A}$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение ${\displaystyle B}$, которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если ${\displaystyle B}$ ложно, то формула ${\displaystyle \neg A\Rightarrow B}$ истинна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \neg A}$ ложно, следовательно утверждение ${\displaystyle A}$ истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение ${\displaystyle \neg \neg A}$, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению ${\displaystyle A}$.

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего^[1].

Доказательство иррациональности числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Допустим противное: число ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}}$, откуда ${\displaystyle m^{2}=2n^{2}}$.

Отсюда следует, что ${\displaystyle m^{2}}$ чётно, значит, чётно и ${\displaystyle m}$; следовательно, ${\displaystyle m^{2}}$ делится на 4, а значит, ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle n}$ тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$. Значит, исходное предположение было неверным, и ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное число.

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа»^[3].

• Приведение к абсурду (апагогия)
• Метод бесконечного спуска