Дробно-линейная функция

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функции

Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае -мерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

Формальное определение

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

где комплексные () или вещественные () числа, — соответственно комплексные или вещественные переменные, — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

[1].

Возможно обобщение на кватернионы[2].

Вырожденные случаи[1]:

  • если
то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;
  • если ранг матрицы
равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[1]:

  • равен двум ранг матрицы

Вещественная дробно-линейная функция

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

где вещественные числа, — вещественные переменные, — вещественные коэффициенты,

[1].

Функция одной переменной

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция с асимптотами и ,

В простейшем случае и действительных

график дробно-линейной функции

равнобочная гипербола с асимптотами

и

параллельными осям координат[1].

Асимптоты гиперболы

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

несократима, то есть , и не сводится к целой линейной функции, то есть . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при [3]:

Теперь ясно, что график функции получается из графика следующими элементарными преобразованиями:

  • растяжением в раз по оси , причём в случае с отражением относительно оси ;
  • перенесением параллельно оси на ;
  • перенесением параллельно оси на .

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые и асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот не принадлежащая кривой, — её центр[3].

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного [3]:

  • «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке ;
  • на интервалах и функция везде возрастает при и везде убывает при ;
  • при неограниченном увеличении значения функции неограниченно приближаются к , что видно также из преобразования

Производная[4]:

Неопределённый интеграл:

Каноническое уравнение гиперболы

Сначала приведём функцию

преобразованиями координат

к простейшему виду

,

который называется уравнением обратной пропорциональности величин и [5].

Теперь повернём координатные оси на угол сделав замену координат

получим в новых координатах[5]:

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями [5]

Функция двух переменных

Гиперболический параболоид

В случае и действительных график дробно-линейной функции

представляет собой гиперболический параболоид[1].

Комплексная дробно-линейная функция

Комплексная дробно-линейная функциячисловая функция вида

где комплексные числа, — комплексные переменные, — комплексные коэффициенты,

[1].

При комплексная дробно-линейная функция

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости , за исключением точки , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс[1].

При комплексная дробно-линейная функция

мероморфная функция в пространстве комплексных переменных , имеющая полярное множество

[1].

Примечания

Источники

  • Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
  • Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
  • Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4.
  • Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
  • Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.