Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости
Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя[1][2][3][4]:
- ,
- — постоянные, .
Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований[5][6][7][8][9].
Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:
- одномерное комплексное дробно-линейное преобразование;
- дробно-линейная функция одной комплексной переменной;
- линейная комплексная рациональная функция;
- одномерное комплексное преобразование Мёбиуса.
Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного[10][4].
Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом[4][11].
Определение дробно-линейного преобразования
Формальное определение
Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя[1][2][3][10]:
- ,
- — постоянные, или коэффициенты, .
Дробно-линейное преобразование представляет дробь, числитель и знаменатель которой
- и
суть целые линейные функции[12]:
При дробь из становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть перестаёт быть дробно-линейным преобразованием[12].
При и дробно-линейная функция становится следующей целой линейной функцией[13][12][14]:
- .
Доопределение на расширенной комплексной плоскости
Компактифицируем комплексную плоскость . Для этого добавим к множеству конечных точек этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку — некоторый абстрактный идеальный элемент[15].
Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой , комплексная плоскость . В связи с этим исходная комплексная плоскость иногда называется конечной, или открытой, плоскостью[16].
Дробно-линейная функция
- ,
была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости , кроме следующих[17]:
- при — кроме точек и ;
- при — кроме точки .
Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости[17]:
- .
Легко получить, что[18][17][19]:
- при и ввиду
- доопределяем с сохранением непрерывности функции
- ;
- при два выражения
- ,
- говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции
- , .
Синонимы дробно-линейного преобразования
В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:
- как противопоставление целому линейному преобразованию:
- отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;
- дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости[1][17][22][23];
- преобразование осуществляется с помощью его функции:
- дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости[24][25][13][22];
- рациона́льная фу́нкция первого порядка[26][10];
- преобразование, сохраняющее окружности:
- то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости[27];
- преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости[28][4];
- отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости[23];
- спи́новое преобразова́ние[11].
Простейшие свойства дробно-линейного преобразования
Детерминант дробно-линейного преобразования
Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме
- , —
это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования[10][3]:
- .
Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной при условии [29][2]:
- , .
Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную , то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку [10][29][2][22].
Не умаляя общности, можно разделить постоянные , , и обычной записи дробно-линейного преобразования либо на , либо на — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице[30]:
- .
Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице[6]:
- .
Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой[31].
Биективность, гомеоморфность и конформность
1. Биективность. Дробно-линейное преобразование
- .
определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости [17].
Выразим через (, случай достаточно очевиден):
- ,
получаем, что любому , и , отвечает одно определённое , а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам и отвечают точки и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно[17][32].
2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости . Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на [17].
3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования[17][32][33]:
- .
Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при , и . Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости — простой полюс, а точка — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках и отличны от нуля: и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках и и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости [32].
Равенство представлений дробно-линейных преобразований
Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости
- и
называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть при всех значениях комплексной переменной [10].
Имеет место следующее утверждение[10]:
- две формы дробно-линейных преобразования
- и
- равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть
- , , , , .
Достаточность. Пусть
- , , , , .
Тогда
Необходимость. Пусть . Тогда:
- , , ;
- , , ;
- , .
Подставим в последнее равенство выражения
- , , , ,
получим:
- ,
- ,
- ,
- .
Если , то , имеем противоречие — детерминант равен нулю: . Следовательно, , и тогда необходимо
- .
Собирая всё вместе, получаем:
- .
Последнее утверждение имеет следующее следствие[34]:
- значение детерминанта дробно-линейного преобразования не постоянно для равных преобразований.
Действительно, если постоянные , , и заменить на постоянные , , и при , то детерминант увеличится в раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта[34].
Таким образом, дробно-линейное преобразование
- ,
имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров[35].
Неподвижные точки
В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости
- ,
его образ , как правило, отличен от исходной точки комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования [36].
Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению[37][38]:
- ,
- ,
- .
Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ). В случае, когда при второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» . В частности[37][38][6][39][40]:
- имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку ;
- имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку .
Неподвижные точки целого линейного преобразования
Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:
- целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку[41].
Дробно-линейная функция — целая линейная, если её постоянные и [36]:
- .
В любом случае, поскольку всегда , у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка расширенной комплексной плоскости [36].
1. Случай . Точка
- —
конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования
- ,
задаваемая этим уравнением[36].
2. Случай . Если и , то у целого линейного преобразования
нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при , и конечная неподвижная точка
стремится к бесконечно удалённой[36].
Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования
Дробно-линейная функция считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная . У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:
- и ,
так как
- и
соответственно[39].
Теперь, решая в общем случае уравнение
- , то есть ,
при
- и ,
получим[41]:
- .
Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем[42]:
- .
Имеем два случая.
- Дискриминант не равен нулю:
- Дискриминант равен нулю:
- ,
- в унимодулярном случае[42]:
- , то есть .
- Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка
- ,
- которая равна нулю тогда и только тогда, когда , [41].
Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам
Только тождественное дробно-линейное преобразование имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение[41]:
- два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.
Пусть значения двух дробно-линейных преобразований и совпадают в трёх различных точках , и :
- , .
Тогда для обратного преобразования
- ,
и для последовательного выполнения преобразований и получаем:
- ,
Преобразование получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки , и :
- .
Отсюда, с одной стороны,
- ,
а с другой стороны, в силу ассоциативности последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение
- .
В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования и равны:
- .
Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости , и вместе с их образами , и , причём такое преобразование единственное[44].
Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров[35].
Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам
Построение преобразования по трём конкретным точкам
Построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения[44]:
- , , .
Имеет место следующее утверждение[44]:
- дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в конкретные точки , и соответственно, задаётся следующей функцией[44]:
- .
Функция
дробно-линейного преобразования:
- равна при тогда и только тогда, когда числитель дроби функции равен ;
- равна при тогда и только тогда, когда знаменатель дроби функции равен ,
поэтому функция имеет следующий вид:
- .
Далее, , то есть
- ,
откуда получаем функцию
- .
Построение преобразования по любым трём точкам
1. Сначала построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конечные значения[44]:
- , , .
Имеет место следующее утверждение[44]:
- дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в произвольные конечные точки , и соответственно, задаётся следующей неявной функцией[45]:
- .
Доказательство 1. Согласно доказанному выше, функция
отображает произвольные конечные комплексные точки , и в конкретные точки , и . Следовательно, последовательное выполнение функций отобразит комплексные точки , и в точки , и :
- .
Произведя замену , получаем:
- ,
то есть
- .
Доказательство 2. Рассмотрим дробно-линейное преобразование
- .
Оно переводит произвольные конечные комплексные точки , и в произвольные конечные точки , и соответственно, поскольку:
- обе его части равны нулю при и ;
- обе его части равны бесконечности при и ;
- обе его части равны единице при и .
2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек и , , конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:
- в случае, если какая-то (только одна, так как одна на плоскости для z) или какая-то (только одна, так как одна на плоскости для w) или они обе вместе , то тогда в уравнении
разности с бесконечными и заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются[48].
Поскольку каждая из шести точек и входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком[49], то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка , то тогда, временно считая конечной, заменим на
и затем осуществим переход к пределу при [48].
Двойное отношение четырёх точек
Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению
- ,
где суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа[48][50][51][52][53].
Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через , то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин[53]:
- .
Распространим это определение на случай бесконечной точки.
Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности[54][50][51].
В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек[55]:
- ,
- ,
- ,
- .
Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения[55][50][51]:
- двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования
- ,
то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.
Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:
- — произвольное дробно-линейное преобразование;
- — четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
- — образы соответственно точек при преобразовании .
Доказательство 1. Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек отображаются преобразованием в три точки соответственно, то есть
- ,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Поскольку , то при получаем:
- ,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Отсюда сразу по определению следует, что
- .
Доказательство 2. Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования , формулы остальных разностей вычисляются аналогично:
- .
- .
Следовательно,
- ,
причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.
Нормальная форма дробно-линейного преобразования
Общий случай двух различных конечных неподвижных точек
Итак, если не учитывать тождественное преобразование , то дробно-линейного преобразования разделены на два класса[56]:
- имеющие две неподвижные точки и ;
- имеющие одну неподвижную точку .
Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение[57][56][58][59]:
- дробно-линейное преобразование
- ,
- в общем случае имеющее при условиях и две различные конечные неподвижные точки
- ,
- можно представить в неявной форме как
- , где .
По условию, дробно-линейное преобразование :
- переводит неподвижную точку в точку ;
- переводит неподвижную точку в точку .
Чтобы полностью определить преобразование , выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:
- переводит бесконечную точку в точку .
Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки и можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.
1. Пусть
- , —
два дробно-линейных преобразования, и — преобразование, обратное к преобразованию . Тогда получаем:
- .
Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего в , две неподвижные точки и :
- ,
- ,
то оно обязательно имеет вид
- ,
где — некоторая комплексная постоянная,
- , .
Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:
- .
Это преобразование имеет две неподвижные точки и . Так как оно переводит третью точку в точку :
- , то есть ,
то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование . Причём , поскольку , и , поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.
2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования
- ,
где , — постоянная.
Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование по этим шести точкам, подставив их в уравнение
- .
Сделать это можно двумя основными способами:
- , , , , , ;
- , , , , , .
При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования :
- ,
- , где , .
При втором:
- , где , .
Следует иметь в виду, что вид формул для зависит не только от порядка неподвижных точек, но еще и от выбранной третьей точки преобразования.
Определение нормальной формы и множителя
Неявная форма
называется нормальной формой, или каноническим видом, дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная называется множителем дробно-линейного преобразования[37][56][58][31].
Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель
обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением
- :
любую степень дробно-линейного преобразования в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные , , и . Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например[60]:
- ,
- ,
- .
Аналогично[60]
- ;
- ;
- .
Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид[61]:
- случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:
- ;;
- ;;
- случай совпадающих конечных неподвижных точек:
- ;
- ;
- случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:
- ;
- .
Выражения множителя через постоянные преобразования
Имеет место следующее утверждение:
- множитель , независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:
- через симметричную функцию и , также не зависящую от порядка этих неподвижных точек[56]:
- ,
- в унимодулярном случае:
- ,
- или
- ;
- В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель зависят только от суммы двух постоянных преобразования [63].
Доказательство 1. Выразить множитель через постоянные дробно-линейного преобразования
- ,
удобнее с помощью симметричной функции и
- .
Вспоминая формулы Виета и то, что уравнение
имеет корни и , получаем:
- , ,
откуда
- ,
- .
Доказательство 2. Подставляя в выражение для
- ,
значения
- ,
- ,
получаем:
- .
Классификация дробно-линейных преобразований
Две различные неподвижные точки, одна бесконечная
Имеет место следующее утверждение[56]:
- ,
- имеющее при условиях и и унимодулярной нормировке две различные неподвижные точки
- и ,
- можно представить в неявной нормальной форме как
- ,
- где — постоянная, причём также , поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,
- .
- ,
- .
- в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,
- .
По условию, целое линейное преобразование :
- переводит неподвижную точку в точку ;
- переводит неподвижную точку в точку .
Чтобы полностью определить преобразование , выберем общую третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:
- переводит произвольную точку в точку .
Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки и можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.
1. Пусть
- , —
два целых линейных преобразования, и — преобразование, обратное к преобразованию . Тогда получаем:
- .
Поскольку у последнего целого линейного преобразования, отображающего в , две неподвижные точки и :
- ,
- ,
то оно обязательно имеет вид , где — некоторая комплексная постоянная,
- , .
Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого целого линейного преобразования:
- .
Это преобразование имеет две неподвижные точки и . Так как оно переводит третью произвольную точку в точку :
- , то есть ,
то тогда эта неявная форма будет представлять целое линейное преобразование
2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования
- ,
где — постоянная.
Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование по этим шести точкам, подставив их в уравнение
- .
Сделать это можно двумя основными способами:
- , , , , , ;
- , , , , , .
При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования :
- ,
- , где .
При втором:
- , где .
Здесь вид формулы для зависит только от порядка неподвижных точек, так как третья точка выбрана общей.
Множитель , независимо от выбора третьей точки при их вычислении, просто выражаются через постоянные целого линейного преобразования. Подставляя в выражение для значение , получаем:
- .
Аналогично
- .
Очевидно, что
- .
- .
Совпадающие неподвижные точки
Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать . В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество[65].
Имеет место следующее утверждение[66][67][68][31]:
- дробно-линейное преобразование
- ,
- имеющее при условиях , в случае унимодулярности , и двойную конечную неподвижную точку
- ,
- можно представить в неявной нормальной форме как
- ,
- где — постоянная, в случае унимодулярности , причём при постоянная , а при постоянная .
- При и , в случае унимодулярности , имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием в обычном виде:
- ,
- в случае унимодулярности
- .
Случай . Чтобы полностью определить преобразование , выберем три точки и три их образа :
- неподвижная точка переводится в точку ;
- точка переводится в точку ;
- точка переводится в точку .
Доказательство 1. Так как можно сделать так, чтобы дробно-линейное преобразование имело единственную неподвижную точку бесконечность или нуль, то рассмотрим оба случая.
1. Пусть
- , —
два дробно-линейных преобразования, и — преобразование, обратное к преобразованию . Тогда получаем:
- .
Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего в , только одна неподвижная точка :
- ,
- ,
то оно обязательно имеет вид , где — некоторая комплексная постоянная, , поскольку тождественное преобразование не рассматривается,
- , .
Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:
- .
Это преобразование переводит одну неподвижную точки саму в себя, а также точку в и точку . Подставляя последние две точки по-очереди в неявную форму, получаем:
- , то есть ,
- , то есть ,
и неявная форма
представляет дробно-линейное преобразование .
2. Пусть
- , —
два целых линейных преобразования, и — преобразование, обратное к преобразованию . Тогда получаем:
- .
Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего в , только одна неподвижная точка :
- ,
- ,
то оно обязательно имеет вид
- ,
где и — некоторые комплексные постоянные,
- , .
Преобразуем эту дробно-линейную функцию:
- , ,
- , ,
где — некоторая комплексная постоянная.
Получаем, что второй случай сведён к первому.
Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование по этим шести точкам, подставив их в уравнение
- .
Сделать это можно двумя основными способами:
- , , , , , ;
- , , , , , .
При первом способе получаем следующую неявную нормальную форму преобразования :
- .
Вычтем из левой и правой частей этого уравнения единицу:
- .
Принимая во внимание, что
- ,
- ,
получаем неявную нормальную форму
- ,
- .
При втором способе получаем то же самое, что и при первом.
Случай . Когда и , возникают совпадающие бесконечно удалённые неподвижные точки , при этом нормальная форма
совпадает с самим преобразованием в исходном виде.
Четыре типа дробно-линейных преобразований
Классификация дробно-линейных преобразований строится[56]:
- на количестве неподвижных точек;
- на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.
Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, форму[71] комплексного числа. Пусть
- ,
где вещественное число — модуль, или абсолютная величина комплексного числа , а вещественное число — главное значение аргумента комплексного числа [72][60][73][74][75][76].
Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований[77]:
- случай различных неподвижных точек:
- , , , — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
- , , — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
- , , , , — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;
- случай одной неподвижной точки:
- — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос.
Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках[59]:
- семейство всех окружностей , проходящих через обе неподвижные точки и [78];
- семейство всех окружностей , ортогональных к окружностям первого семейства [79].
При единственной неподвижной точке окружности семейства превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке общую касательную, а семейство окружностей исчезает[31][80].
Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований[31][77].
Гиперболическое | Эллиптическое | Локсодромическое | Параболическое | |
Нормальная форма общего случая | ||||
Бесконечной неподвижной точки нет[31] | ||||
Бесконечная неподвижная точка есть[31] | ||||
Ограничения на и [31] | или | |||
Показательная форма [77] | ||||
Унимодулярный случай | ||||
Сумма постоянных [31][77] | вещественное и | вещественное и | комплексное невещественное | |
Геометрические свойства | ||||
Неподвижные круги[31][77] | Окружности семейства и их внутренности отображаются сами в себя | Окружности семейства и их внутренности отображаются сами в себя | Нет неподвижных кругов | Отображаются сами в себя окружности семейства и их внутренности |
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны[77] | Окружности и их внутренности отображаются в окружности и их внутренности | Нет таких неподвижных семейств кругов | Окружности и их внутренности отображаются в окружности и их внутренности | Нет таких неподвижных семейств кругов |
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне[77] | Нет таких неподвижных окружностей | При окружности семейства отображаются сами в себя, их внутренности — вовне | При окружности семейства отображаются сами в себя, их внутренности — вовне | Нет таких неподвижных окружностей |
Геометрическое преобразование комплексной плоскости[77] | Подобие | Поворот | Комбинация подобия и поворота | Параллельный перенос |
При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх[81]:
- гиперболического,
- эллиптического,
- параболического.
Причём, если не является неподвижной точкой, то есть , тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через , то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через . Эта прямая проходит также через две конечные точки[81]:
- , .
Примечания
- ↑ 1 2 3 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 384—385.
- ↑ 1 2 3 4 Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85.
- ↑ 1 2 3 4 5 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 9.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Tristan Needham. Visual Complex Analysis, 2000, 3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 49.
- ↑ 1 2 3 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 385.
- ↑ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 86.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 119.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 129.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 126.
- ↑ 1 2 Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля, 1987, 1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов, с. 32.
- ↑ 1 2 3 Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952, с. 56.
- ↑ 1 2 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 44.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 93, 132.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 12.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 1. Комплексная плоскость, с. 12.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45.
- ↑ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 6. Понятие функции комплексного переменного, с. 23, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 94, 96.
- ↑ 1 2 Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 110—112.
- ↑ 1 2 Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 110.
- ↑ 1 2 3 Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 136.
- ↑ 1 2 Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986, 1.1., с. 8.
- ↑ Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция, 1979.
- ↑ Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 78.
- ↑ Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984, стб. 917.
- ↑ Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 79.
- ↑ Яглом И. М. Окружности, 1963, 5.1. Круговая плоскость, с. 477.
- ↑ 1 2 Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952, с. 56—57.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 9—10.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 386.
- ↑ 1 2 3 Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 93.
- ↑ 1 2 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 127.
- ↑ 1 2 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 53.
- ↑ 1 2 3 4 5 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 132.
- ↑ 1 2 3 Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90.
- ↑ 1 2 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 3. Неподвижные точки преобразования, с. 14.
- ↑ 1 2 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 132—133.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 119—120.
- ↑ 1 2 3 4 5 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 133.
- ↑ 1 2 3 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 14.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 133—134.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 134.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 135.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 134—135.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 15.
- ↑ 1 2 3 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 136.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 54.
- ↑ 1 2 3 4 Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139.
- ↑ 1 2 3 4 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 12.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 113.
- ↑ 1 2 Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 87.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 136—137.
- ↑ 1 2 3 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 137.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 24.
- ↑ 1 2 3 Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90—91.
- ↑ 1 2 3 4 Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 120.
- ↑ 1 2 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 385—386.
- ↑ 1 2 3 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 26.
- ↑ Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, с. 363.
- ↑ 1 2 Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 121.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 25.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 25, 26.
- ↑ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91.
- ↑ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 92.
- ↑ 1 2 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 30—31.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 123.
- ↑ Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91—92.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 122—123.
- ↑ Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, с. 10.
- ↑ Соломенцев Е. Д. Комплексное число, 1979, стб. 1009.
- ↑ Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 14.
- ↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 20—21, 80.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 1. Комплексная плоскость, с. 11.
- ↑ Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 1. Комплексные числа, с. 5—6.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 26—32.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 27.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 28.
- ↑ Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 31.
- ↑ 1 2 Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 31—32.
Источники
- Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
- Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
- Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
- Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
- Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: Наука, 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-X.
- Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
- Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: Мир, 1987. 528 с, ил.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
- Соломенцев Е. Д. Комплексное число // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1007—1011.
- Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
- Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
- Форд Р. Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1976. 320 с.: ил.
- Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
- Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
- Tristan Needham. Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0198534477 (Hbk). ISBN 0198534469 (Pbk). [Тристан Нидхем[англ.]. Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: Издательство Оксфордского университета, 2000. 592 с., ил.]