Душа (дифференциальная геометрия)

Душа риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что ${\displaystyle (M,g)}$ — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

• Любое компактное многообразие является своей душой.

• У евклидова пространства Rⁿ любая точка является его душой.

• У параболоида M = {(x,y,z) : z = x² + y²}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.

• У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x² + y² = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x² + y² = 1} с фиксированной z является душой M.

Термин душа введён Чигером^[англ.] и Громолом^[англ.] в 1972 году^[1] в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера^[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе. Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом^[3] в 1994 году.

Ниже предполагаем, что ${\displaystyle (M,g)}$ — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

• Теорема о душе утверждает:

  Всякое (M, g) имеет душу S. Более того, многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению над S.

• Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году^[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-липшицев деформационный ретракт ${\displaystyle (M,g)\to S}$.

• Ретракция Шарафутдинова ${\displaystyle (M,g)\to S}$ является римановой субмерсией. В частности, если ${\displaystyle (M,g)}$ имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.

• Гипотеза о двойной душе утверждает^[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.