Единичный куб

Единичный куб — куб, ребром которого является единичный отрезок, соответственно, гранью — единичный квадрат. В прямоугольной координатной системе обычно предполагается, чтобы одна вершина находилась в начале координат, все рёбра были параллельны координатным осям и весь куб находился в первом октанте, то есть, чтобы координаты вершин были:

${\displaystyle (0;0;0),(1;0;0),(1;1;0),(1;1;1),(0;1;1),(0;1;0),(0;0;1),(1;0;1)}$.

Объём единичного куба — 1, площадь поверхности — 6, длина длиннейшей диагонали — ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.

Единичный гиперкуб (единичный ${\displaystyle n}$-куб) — ${\displaystyle n}$-мерное обобщение единичного куба, гиперкуб с рёбрами длины 1, и (при упоминании в контексте прямоугольной системы координат) лежащий ${\displaystyle n}$ рёбрами на координатных осях, одной из вершин находящийся в начале координат и находящийся в первом ортанте. Гиперобъём ${\displaystyle n}$-мерного гиперкуба — 1, гиперплощадь поверхности — ${\displaystyle 2\cdot n}$, самая длинная диагональ имеет длину ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Определить единичный ${\displaystyle n}$-куб можно как декартово произведение единичных отрезков:

${\displaystyle [0,1]^{n}=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]\times \dots \times [0,1]}$.

Бесконечномерные обобщения единичного гиперкуба — гильбертов кирпич, определяемый как произведение счётного числа единичных отрезков, и ещё более общий тихоновский куб, являющийся произведением единичных отрезков, индексированных произвольным (возможно, несчётным) множеством.

• Р. Энгелькинг. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 130. — 752 с.