Задача Томсона

Задача Томсона состоит в нахождении конфигурации с минимальной полной потенциальной энергии электростатического заряда для N электронов, на единичной сфере, которые отталкиваются друг от согласно закону Кулона. Задача поставлена Дж. Дж. Томсоном в 1904 году после того, как он предложил модель атома, позже названную моделью Томсона, основанную на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов в нейтрально заряженных атомах.

Связанные задачи включают изучение геометрии конфигурации минимальной энергии и нахождения минимальной энергии при больших N.

Физическая система, воплощённая в задаче Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивеном Смейлом — «Распределение точек на сфере». Решение каждой проблемы N электронов получается, когда конфигурация N электронов ограниченная поверхностью сферы единичного радиуса, r = 1, даёт глобальный минимум электростатической потенциальной энергии U(N)

Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов равных зарядов (${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$, элементарный заряд электрона) определяется законом Кулона,

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}}$

здесь ${\displaystyle k_{e}}$ — постоянная Кулона и ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами ${\displaystyle {r}_{i}}$ и ${\displaystyle {r}_{j}}$ соответственно.

Упрощенные единицы ${\displaystyle e=1}$ и ${\displaystyle k_{e}=1}$ используются без потери основного смысла. Потом,

${\displaystyle {\ U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}}$

Полная потенциальная энергия электростатического заряда каждой конфигурации N-электронов может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий.

${\displaystyle {\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}}$

Глобальная минимизация по всем возможным наборам из N различных точек обычно находят алгоритмы численной минимизации.

Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга на противоположных сторонах начала координат, ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2}}$, или

${\displaystyle {\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}}$

Конфигурации с минимальной энергией были строго математически определены только в нескольких случаях.

• При N = 1 решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, так как электрон не подвергается воздействию электрического поля от других зарядов.
• При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в антиподальных точках.
• При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большой окружности .
• При N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра.
• Для N = 5 в 2010 году было получено математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной бипирамиды.
• При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра.
• При N = 12 электронов находятся в вершинах правильного икосаэдра.

Примечательно, что решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов образуют тела Платона, грани которых являются равными равносторонними треугольниками, при этом заряды находятся в вершинах платонового многогранника. Конфигурации численных решений для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранниками оставшихся двух платоновых тел, грани которых являются квадратными и пятиугольными, соответственно, это куб и додекаэдр^[1].

Можно также запросить основные состояния частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей вещественной функцией. Определим энергетическую функцию ${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)}$

Традиционно считается ${\displaystyle {\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}}$ также известная как ядро Рисса. Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маком. Известные случаи включают α = ∞, проблему Таммеса ; α = 1, проблема Томсона; α = 0, задача Уайта (максимизировать произведение расстояний).

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие её равномерного положительного фонового заряда.

«Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может ускорить прогресс физической науки, так как большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома».

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от томсоновской модели пудинга в качестве полной модели атома, было обнаружено, что неоднородности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют наполнению электронной оболочки естественными атомами по всей периодической таблице элементов.

Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузырьки и упорядочение поверхности жидких металлических капель, заключенных в ловушках Пола .

Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, которые составляют оболочки сферических вирусов . «Частицы» в данном случае представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие примеры включают в себя регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предлагаемых для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарственные средства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теория отталкивания электронных пар. Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова, которые образовались бы при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим электромагнитным полем в центре.

В следующей таблице ${\displaystyle N}$ — количество точек (зарядов) в конфигурации, ${\displaystyle E_{1}}$ — энергия, тип симметрии указан в нотации Шёнфлиса (см. Точечные группы в трёх измерениях), ${\displaystyle r_{i}}$ — позиции зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент) была равна нулю.

Принято также учитывать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, ${\displaystyle v_{i}}$ — число вершин, где встречается данное число рёбер, ${\displaystyle e}$ — общее количество рёбер, ${\displaystyle f_{3}}$ — количество треугольных граней, ${\displaystyle f_{4}}$ — четырёхугольных граней, и ${\displaystyle \theta _{1}}$ — наименьший угол, представленный векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины рёбер обычно не равны; таким образом (за исключением случаев N = 4, 6, 12, 24) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна однородному многограннику или телу Джонсона. Вторые перечислены в последнем столбце.

N	E1	Группа симметрии	${\displaystyle {\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{3}}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{4}}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{5}}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{6}}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{7}}}$	${\displaystyle {\displaystyle v_{8}}}$	e	${\displaystyle f_{3}}$	${\displaystyle f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}}$	Эквивалентный многогранник
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h}}$	0	—	—	—	—	—	—	1	—	—	180,000 °	двуугольник
3	1,732050808	${\displaystyle D_{3h}}$	0	—	—	—	—	—	—	3	1	—	120,000 °	треугольник
4	3,674234614	${\displaystyle T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109,471 °	тетраэдр
5	6,474691495	${\displaystyle D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90,000 °	треугольная дипирамида
6	9,985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90,000 °	октаэдр
7	+14,452977414	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72,000 °	пятиугольная дипирамида
8	+19,675287861	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71,694 °	квадратная антипризма
9	+25,759986531	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69,190 °	треугольная призма
10	+32,716949460	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996 °	Гиро удлиненная квадратная дипирамида
11	+40,596450510	${\displaystyle C_{2v}}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540 °	икосаэдр, сжатый ребром
12	+49,165253058	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435 °	икосаэдр
13	+58,853230612	${\displaystyle C_{2v}}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317 °	—
14	+69,306363297	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866 °	скрученно удлиненная гексагональная дипирамида
15	+80,670244114	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225 °	—
16	+92,911655302	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936 °	—
17	+106,050404829	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108 °	—
18	+120,084467447	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534 °	—
19	+135,089467557	${\displaystyle C_{2v}}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910 °	—
20	+150,881568334	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093 °	—
21	+167,641622399	${\displaystyle C_{2v}}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321 °	—
22	+185,287536149	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302 °	—
23	+203,930190663	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481 °	—
24	+223,347074052	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065 °	курносый куб
25	+243,812760299	${\displaystyle C_{S}}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39,610 °	—
26	+265,133326317	${\displaystyle C_{2}}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842 °	—
27	+287,302615033	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940 °	—
28	+310,491542358	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824 °	—
29	+334,634439920	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391 °	—
30	+359,603945904	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36,942 °	—
31	+385,530838063	${\displaystyle C_{3v}}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373 °	—
32	+412,261274651	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377 °	—
33	+440,204057448	${\displaystyle C_{s}}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33,700 °	—
34	+468,904853281	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273 °	—
35	+498,569872491	${\displaystyle C_{2}}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100 °	—
36	+529,122408375	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229 °	—
37	+560,618887731	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332 °	—
38	+593,038503566	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236 °	—
39	+626,389009017	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053 °	—
40	+660,675278835	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916 °	—
41	+695,916744342	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528 °	—
42	+732,078107544	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245 °	—
43	+769,190846459	${\displaystyle C_{2v}}$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867 °	—
44	+807,174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258 °	—
45	+846,188401061	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207 °	—
46	+886,167113639	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790 °	—
47	+927,059270680	${\displaystyle C_{s}}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787 °	—
48	+968,713455344	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690 °	—
49	+1011,557182654	${\displaystyle C_{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387 °	—
50	+1055,182314726	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231 °	—
51	+1099,819290319	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165 °	—
52	+1145,418964319	${\displaystyle C_{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670 °	—
53	+1191,922290416	${\displaystyle C_{2v}}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27,137 °	—
54	+1239,361474729	${\displaystyle C_{2}}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030 °	—
55	+1287,772720783	${\displaystyle C_{2}}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615 °	—
56	+1337,094945276	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683 °	—
57	+1387,383229253	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702 °	—
58	+1438,618250640	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155 °	—
59	+1490,773335279	${\displaystyle C_{2}}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26,170 °	—
60	+1543,830400976	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958 °	—
61	+1597,941830199	${\displaystyle C_{1}}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392 °	—
62	+1652,909409898	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25,880 °	—
63	+1708,879681503	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257 °	—
64	+1765,802577927	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920 °	—
65	+1823,667960264	${\displaystyle C_{2}}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527 °	—
66	+1882,441525304	${\displaystyle C_{2}}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765 °	—
67	+1942,122700406	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727 °	—
68	+2002,874701749	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433 °	—
69	+2064,533483235	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137 °	—
70	+2127,100901551	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291 °	—
71	+2190,649906425	${\displaystyle C_{2}}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23,803 °	—
72	+2255,001190975	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492 °	—
73	+2320,633883745	${\displaystyle C_{2}}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810 °	—
74	+2387,072981838	${\displaystyle C_{2}}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966 °	—
75	+2454,369689040	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736 °	—
76	+2522,674871841	${\displaystyle C_{2}}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886 °	—
77	+2591,850152354	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286 °	—
78	+2662,046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426 °	—
79	+2733,248357479	${\displaystyle C_{s}}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636 °	—
80	+2805,355875981	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778 °	—
81	+2878,522829664	${\displaystyle C_{2}}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892 °	—
82	+2952,569675286	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206 °	—
83	+3027,528488921	${\displaystyle C_{2}}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646 °	—
84	+3103,465124431	${\displaystyle C_{2}}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513 °	—
85	+3180,361442939	${\displaystyle C_{2}}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498 °	—
86	+3258,211605713	${\displaystyle C_{2}}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522 °	—
87	+3337,000750014	${\displaystyle C_{2}}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456 °	—
88	+3416,720196758	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486 °	—
89	+3497,439018625	${\displaystyle C_{2}}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182 °	—
90	+3579,091222723	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230 °	—
91	+3661,713699320	${\displaystyle C_{2}}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105 °	—
92	+3745,291636241	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026 °	—
93	+3829,844338421	${\displaystyle C_{2}}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751 °	—
94	+3915,309269620	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952 °	—
95	+4001,771675565	${\displaystyle C_{2}}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711 °	—
96	+4089,154010060	${\displaystyle C_{2}}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687 °	—
97	+4177,533599622	${\displaystyle C_{2}}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450 °	—
98	+4266,822464156	${\displaystyle C_{2}}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422 °	—
99	+4357,139163132	${\displaystyle C_{2}}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284 °	—
100	+4448,350634331	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297 °	—
101	+4540,590051694	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011 °	—
102	+4633,736565899	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040 °	—
103	+4727,836616833	${\displaystyle C_{2}}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907 °	—
104	+4822,876522746	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957 °	—
105	+4919,000637616	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842 °	—
106	+5015,984595705	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658 °	—
107	+5113,953547724	${\displaystyle C_{2}}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327 °	—
108	+5212,813507831	${\displaystyle C_{2}}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327 °	—
109	+5312,735079920	${\displaystyle C_{2}}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19,103 °	—
110	+5413,549294192	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476 °	—
111	+5515,293214587	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255 °	—
112	+5618,044882327	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351 °	—
113	+5721,824978027	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978 °	—
114	+5826,521572163	${\displaystyle C_{2}}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836 °	—
115	+5932,181285777	${\displaystyle C_{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458 °	—
116	+6038,815593579	${\displaystyle C_{2}}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386 °	—
117	+6146,342446579	${\displaystyle C_{2}}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566 °	—
118	+6254,877027790	${\displaystyle C_{2}}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455 °	—
119	+6364,347317479	${\displaystyle C_{2}}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336 °	—
120	+6474,756324980	${\displaystyle C_{s}}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418 °	—
121	+6586,121949584	${\displaystyle C_{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199 °	—
122	+6698,374499261	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612 °	—
123	+6811,827228174	${\displaystyle C_{2v}}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17,840 °	—
124	+6926,169974193	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111 °	—
125	+7041,473264023	${\displaystyle C_{2}}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867 °	—
126	+7157,669224867	${\displaystyle D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920 °	—
127	+7274,819504675	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877 °	—
128	+7393,007443068	${\displaystyle C_{2}}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814 °	—
129	+7512,107319268	${\displaystyle C_{2}}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743 °	—
130	+7632,167378912	${\displaystyle C_{2}}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683 °	—
131	+7753,205166941	${\displaystyle C_{2}}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511 °	—
132	+7875,045342797	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958 °	—
133	+7998,179212898	${\displaystyle C_{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133 °	—
134	+8122,089721194	${\displaystyle C_{2}}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214 °	—
135	+8246,909486992	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431 °	—
136	+8372,743302539	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485 °	—
137	+8499,534494782	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560 °	—
138	+8627,406389880	${\displaystyle C_{2}}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924 °	—
139	+8756,227056057	${\displaystyle C_{2}}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673 °	—
140	+8885,980609041	${\displaystyle C_{1}}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773 °	—
141	+9016,615349190	${\displaystyle C_{2v}}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16,962 °	—
142	+9148,271579993	${\displaystyle C_{2}}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840 °	—
143	+9280,839851192	${\displaystyle C_{2}}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782 °	—
144	+9414,371794460	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953 °	—
145	+9548,928837232	${\displaystyle C_{s}}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841 °	—
146	+9684,381825575	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905 °	—
147	+9820,932378373	${\displaystyle C_{2}}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458 °	—
148	+9958,406004270	${\displaystyle C_{2}}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627 °	—
149	+10096,859907397	${\displaystyle C_{1}}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16,344 °	—
150	+10236,196436701	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405 °	—
151	+10376,571469275	${\displaystyle C_{2}}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163 °	—
152	+10517,867592878	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117 °	—
153	+10660,082748237	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390 °	—
154	+10803,372421141	${\displaystyle C_{2}}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078 °	—
155	+10947,574692279	${\displaystyle C_{2}}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990 °	—
156	+11092,798311456	${\displaystyle C_{2}}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822 °	—
157	+11238,903041156	${\displaystyle C_{2}}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948 °	—
158	+11385,990186197	${\displaystyle C_{2}}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987 °	—
159	+11534,023960956	${\displaystyle C_{2}}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960 °	—
160	+11683,054805549	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961 °	—
161	+11833,084739465	${\displaystyle C_{2}}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810 °	—
162	+11984,050335814	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813 °	—
163	+12136,013053220	${\displaystyle C_{2}}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675 °	—
164	+12288,930105320	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655 °	—
165	+12442,804451373	${\displaystyle C_{2}}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651 °	—
166	+12597,649071323	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607 °	—
167	+12753,469429750	${\displaystyle C_{2}}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15,600 °	—
168	+12910,212672268	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655 °	—
169	+13068,006451127	${\displaystyle C_{s}}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15,537 °	—
170	+13226,681078541	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569 °	—
171	+13386,355930717	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497 °	—
172	+13547,018108787	${\displaystyle C_{2v}}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292 °	—
173	+13708,635243034	${\displaystyle C_{s}}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225 °	—
174	+13871,187092292	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366 °	—
175	+14034,781306929	${\displaystyle C_{2}}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252 °	—
176	+14199,354775632	${\displaystyle C_{1}}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101 °	—
177	+14364,837545298	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269 °	—
178	+14531,309552587	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145 °	—
179	+14698,754594220	${\displaystyle C_{1}}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968 °	—
180	+14867,099927525	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067 °	—
181	+15036,467239769	${\displaystyle C_{2}}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002 °	—
182	+15206,730610906	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155 °	—
183	+15378,166571028	${\displaystyle C_{1}}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747 °	—
184	+15550,421450311	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932 °	—
185	+15723,720074072	${\displaystyle C_{2}}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775 °	—
186	+15897,897437048	${\displaystyle C_{1}}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739 °	—
187	+16072,975186320	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848 °	—
188	+16249,222678879	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740 °	—
189	+16426,371938862	${\displaystyle C_{2}}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671 °	—
190	+16604,428338501	${\displaystyle C_{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501 °	—
191	+16783,452219362	${\displaystyle C_{1}}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14,195 °	—
192	+16963,338386460	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819 °	—
193	+17144,564740880	${\displaystyle C_{2}}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144 °	—
194	+17326,616136471	${\displaystyle C_{1}}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350 °	—
195	+17509,489303930	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375 °	—
196	+17693,460548082	${\displaystyle C_{2}}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251 °	—
197	+17878,340162571	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147 °	—
198	+18064,262177195	${\displaystyle C_{2}}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237 °	—
199	+18251,082495640	${\displaystyle C_{1}}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153 °	—
200	+18438,842717530	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222 °	—
201	+18627,591226244	${\displaystyle C_{1}}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13,830 °	—
202	+18817,204718262	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189 °	—
203	+19007,981204580	${\displaystyle C_{s}}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977 °	—
204	+19199,540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291 °	—
212	+20768,053085964	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118 °	—
214	+21169,910410375	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771 °	—
216	+21575,596377869	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735 °	—
217	+21779,856080418	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902 °	—
232	+24961,252318934	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260 °	—
255	+30264,424251281	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565 °	—
256	+30506,687515847	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572 °	—
257	+30749,941417346	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672 °	—
272	+34515,193292681	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335 °	—
282	+37147,294418462	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166 °	—
292	+39877,008012909	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857 °	—
306	+43862,569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628 °	—
312	+45629,313804002	${\displaystyle C_{2}}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299 °	—
315	+46525,825643432	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337 °	—
317	+47128,310344520	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423 °	—
318	+47431,056020043	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219 °	—
334	+52407,728127822	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058 °	—
348	+56967,472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721 °	—
357	+59999,922939598	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728 °	—
358	+60341,830924588	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647 °	—
372	+65230,027122557	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531 °	—
382	+68839,426839215	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379 °	—
390	+71797,035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222 °	—
392	+72546,258370889	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278 °	—
400	+75582,448512213	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068 °	—
402	+76351,192432673	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099 °	—
432	+88353,709681956	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556 °	—
448	+95115,546986209	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322 °	—
460	+100351,763108673	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297 °	—
468	+103920,871715127	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120 °	—
470	+104822,886324279	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059 °	—

Согласно предположению, если ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2}}$, p — многогранник, образованный выпуклой оболочкой из m точек, q — число четырёхугольных граней p , то решение для m электронов равно f (m):${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q}}$.

1. Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные интервалы вокруг окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский Журнал . Серия 6. 7 (39): 237—265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Архивировано из оригинального(PDF) 13 декабря 2013 года.
2. Смейл, С. (1998)."Математические проблемы будущего века". «Математический интеллект».
4. Föppl, Л. (1912). «Стабильное расположение электронов в атоме» Дж. Рейн Энджью. Математика (141): 251—301
5. Шварц, Ричард (2010). «Пятиэлектронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
6. ^ Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А. П. Духовского. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, группа 180. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1972. х + 424 с.
7. ^ Хардин Д.П .; Сафф, Э. Б. Дискретизирующие многообразия через точки минимальной энергии. Заметки амер. Математика Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186—1194
8. ^ Левин, Y .; Arenzon, JJ (2003). «Почему заряды уходят на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524. doi : 10.1209 / epl / i2003-00546-1 .
9. ^ Сэр Дж. Дж. Томсон, лекция Романов, 1914 (Атомная теория)
10. LaFave Jr, Тим (2013). «Соответствия между классической электростатической проблемой Томсона и атомной электронной структурой». Журнал Электростатики . 71 (6): 1029—1035. arXiv : 1403.2591. doi : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001 .
11. Кевин Браун. «Конфигурации минимальных энергий электронов на сфере» . Получено 2014-05-01.
12. «Sloane’s A008486 (см. Комментарий от 03 февраля 2017 г.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2017-02-08